[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 87)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (87, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{87} (-6x^2 + 522x)\,dx = 658503\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{87}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(658503\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 522x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 261x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 522x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 658503\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 658503\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{87}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{87/2} (-6x^2 + 522x)\,dx = \dfrac{658503}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 522x\)와 직선 \(y = 261x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{658503}{8}\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(S = 658503\) | [5-2] \(k = \dfrac{87}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{658503}{2}\) | [5-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{87}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{658503}{8}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 261x^2\right]_0^{87} = -2(87)^3 + 3(87)^3 = 658503\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{87}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{87}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 261x^2\right]_0^{87/2} = -\dfrac{658503}{4} + \dfrac{3\times 658503}{4} = \dfrac{658503}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 522x = 261x \implies 6x\left(x - \dfrac{87}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{87}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{87/2} (-6x^2 + 261x)\,dx = \dfrac{658503}{8}\)이다.
| 평가 소문항 | 을지대학교 자연·보건의료 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
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| 소문항 [5-1] | • 원시함수 \(-2x^3 + 261x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 658503\) 도출 +3점 |
| 소문항 [5-2] | • 대칭축 \(k = \dfrac{87}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 87/2]\) 적분값 \(\dfrac{658503}{2}\) 확인 +4점 |
| 소문항 [5-3] | • 교점 \(x = \dfrac{87}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{658503}{8}\) 도출 +4점 |
💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{87}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{658503}{8}\)이 됩니다.