2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 5회 (해설집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 실생활 방사성 동위원소의 반감기와 지수·로그 모델링

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 문제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> 초기 질량이 \(M_0\)인 어떤 방사성 물질이 일정한 반감기 \(T\)년마다 절반으로 줄어들 때, \(t\)년 후 남아 있는 물질의 질량 \(M(t)\)는 \(M(t) = M_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\)이다.

반감기가 \(T = 15\)년인 어떤 방사성 물질의 초기 질량이 \(M_0 = 64\,\mathrm{g}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(45\)년 후 남아 있는 물질의 질량 \(M(45)\)를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 남아 있는 물질의 질량이 초기 질량의 \(\dfrac{1}{16}\) 이하가 되려면 최소 몇 년이 지나야 하는지 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(t_1\)년 후의 질량이 \(M(t_1) = 24\,\mathrm{g}\)일 때, \((t_1 + 30)\)년 후 남아 있는 물질의 질량 \(M(t_1 + 30)\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(8\,\mathrm{g}\) | [1-2] 최소 \(60\)년 | [1-3] \(6\,\mathrm{g}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(M(t) = 64 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\)이고 지수법칙 \(a^{p+q} = a^p a^q\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(M(45) = 64 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 8\,(\mathrm{g})\)이다. 또한 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}} \le \dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4\)에서 밑이 \(1\)보다 작으므로 \(\dfrac{t}{15} \ge 4 \implies t \ge 60\)년이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(M(t_1 + 30) = M_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t_1 + 30}{15}} = M(t_1) \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 24 \times \dfrac{1}{4} = 6\,(\mathrm{g})\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(M(45) = 64 \times (1/2)^3\) 식 수립 +3점 / \(8\,\mathrm{g}\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• \((1/2)^{t/15} \le (1/2)^4\) 부등식 수립 +4점 / 최소 \(60\)년 도출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 지수법칙 분리 \(M(t_1)\cdot(1/2)^2\) 적용 +4점 / \(6\,\mathrm{g}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(t_1\)의 값을 직접 구하지 않더라도 지수법칙 \(M(t_1 + 30) = M(t_1) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{30/15}\)를 이용하면 즉시 계산됩니다.

[대문항 2] 코사인법칙과 각의 이등분선·중선의 길이 논증

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 두 변 \(b, c\)와 끼인각 \(A\)가 주어질 때 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)이고, 삼각형의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)이다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4,\; A = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이 \(a\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AH}\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 \(A\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 할 때, 넓이 분할 \(S = \triangle\mathrm{ABD} + \triangle\mathrm{ACD}\)를 이용하여 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 2\sqrt{7}\) | [2-2] \(S = 6\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{6\sqrt{21}}{7}\) | [2-3] \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{5}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)의 코사인법칙과 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4)\cos\dfrac{\pi}{3} = 36 + 16 - 24 = 28\)이므로 \(a = 2\sqrt{7}\)이다. 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}(6)(4)\sin\dfrac{\pi}{3} = 6\sqrt{3}\)이고, \(S = \dfrac{1}{2}a \cdot \overline{\mathrm{AH}}\)에서 \(\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \dfrac{6\sqrt{21}}{7}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\overline{\mathrm{AD}} = x\)라 하면 \(6\sqrt{3} = \dfrac{1}{2}(6)x\sin\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{1}{2}(4)x\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5}{2}x\)이므로 \(x = \dfrac{12\sqrt{3}}{5}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 코사인법칙으로 \(a^2 = 28\) 산출 +4점 / \(a = 2\sqrt{7}\) 도출 +2점
소문항 [2-2] (7점)	• 넓이 \(S = 6\sqrt{3}\) 산출 +3점 / \(\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{6\sqrt{21}}{7}\) 도출 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• 넓이 분할 등식 \(6\sqrt{3} = \dfrac{5}{2}\overline{\mathrm{AD}}\) 수립 +4점 / \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{5}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 각의 이등분선 \(\overline{\mathrm{AD}}\)의 길이는 두 작은 삼각형의 끼인각이 각각 \(\dfrac{\pi}{6}\)임을 이용한 넓이 합 공식으로 가장 빠르게 구할 수 있습니다.

[대문항 3] 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 계산

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 삼차방정식 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 2(a + 1)x^2 + 4ax + 3\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 조립제법을 이용하여 \(f'(x)\)를 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(a = 0\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(x) = 4(x - 1)(x^2 + x - a)\) | [3-2] \(a \gt -\dfrac{1}{4}\)이고 \(a \ne 2\) | [3-3] 극댓값 \(f(0) = 3\), 극솟값 \(f(-1) = f(1) = 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 4x^3 - 4(a + 1)x + 4a = 4(x - 1)(x^2 + x - a)\)로 인수분해하고 제시문 (가)의 서로 다른 세 실근 조건을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지려면 \(x^2 + x - a = 0\)이 \(x \ne 1\)인 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로, 판별식 \(D = 1 + 4a \gt 0 \implies a \gt -\dfrac{1}{4}\)이고 \(1 + 1 - a \ne 0 \implies a \ne 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a = 0\)일 때 \(f'(x) = 4x(x + 1)(x - 1) = 0\)에서 세 극점은 \(x = -1, 0, 1\)이므로 극댓값은 \(f(0) = 3\), 두 극솟값은 \(f(-1) = f(1) = 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(f'(x) = 4x^3 - 4(a+1)x + 4a\) 도출 +2점 / \(4(x-1)(x^2+x-a)\) 인수분해 +4점
소문항 [3-2] (7점)	• 판별식 \(1 + 4a \gt 0\) 조건 +4점 / 중근 제외 조건 \(a \ne 2\) 명시 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• \(a = 0\)에서 세 극점 \(x = -1, 0, 1\) 도출 +3점 / 극댓값 \(3\), 극솟값 \(2\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차방정식 \(x^2 + x - a = 0\)의 판별식 조건만 쓰고 \(x = 1\)을 근으로 갖는 경우(\(a = 2\))를 제외하지 않으면 감점됩니다.

[대문항 4] 삼차방정식의 실근의 개수와 극값의 부호 판정

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 극값을 갖는 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 방정식 \(g(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \((극댓값)\times(극솟값) \lt 0\)이고, 중근과 다른 한 실근을 가질 조건은 \((극댓값)\times(극솟값) = 0\)이다.

삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(k\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)라 할 때, \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값을 \(k\)에 대한 식으로 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 그때의 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 주어진 방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 극댓값 \(k + 5\), 극솟값 \(k - 27\) | [4-2] \(-5 \lt k \lt 27\), 정수 \(31\)개 | [4-3] \(0 \lt k \lt 27\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)에서 극점을 찾고 제시문 (가) 및 \(y\)절편 \(g(0)\)의 부호를 조사한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = -1\)에서 극댓값 \(g(-1) = k + 5\), \(x = 3\)에서 극솟값 \(g(3) = k - 27\)이다. 서로 다른 세 실근 조건은 \((k + 5)(k - 27) \lt 0 \implies -5 \lt k \lt 27\)이고 정수는 \(27 - (-5) - 1 = 31\)개이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 극소점의 \(x\)좌표가 \(3 \gt 0\)이고 극대점의 \(x\)좌표가 \(-1 \lt 0\)이므로, 양근 \(2\)개와 음근 \(1\)개를 가지려면 극솟값 \(g(3) = k - 27 \lt 0\)이고 \(y\)절편 \(g(0) = k \gt 0\)이어야 하여 \(0 \lt k \lt 27\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(g'(x) = 3(x+1)(x-3) = 0\) 도출 +2점 / 극댓값 \(k+5\), 극솟값 \(k-27\) 산출 +4점
소문항 [4-2] (7점)	• \(-5 \lt k \lt 27\) 범위 도출 +4점 / 정수 개수 \(31\)개 산출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(g(0) = k \gt 0\) 및 \(g(3) = k - 27 \lt 0\) 조건 명시 +4점 / \(0 \lt k \lt 27\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 실근의 부호(양근 2개, 음근 1개)를 판정할 때는 극값의 부호뿐만 아니라 반드시 \(y\)절편 \(g(0)\)의 부호를 함께 확인해야 합니다.

[대문항 5] 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 위치·이동거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x_0\)일 때, 시각 \(t = a\)에서의 위치는 \(x(a) = x_0 + \int_{0}^{a} v(t)\,dt\)이고, 시각 \(t = 0\)부터 \(t = a\)까지 실제로 움직인 거리는 \(\int_{0}^{a} |v(t)|\,dt\)이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(L\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(t = 1\)초, \(t = 3\)초 | [5-2] 위치 \(0\) (원점) | [5-3] \(L = 12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각이며 제시문 (가)의 공식을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(t = 1\)초와 \(t = 3\)초에서 운동 방향을 바꾸며, 두 번째 방향 전환 시각 \(t = 3\)에서의 위치는 \(x(3) = \int_{0}^{3} (3t^2 - 12t + 9)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{0}^{3} = 27 - 54 + 27 = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간별 이동거리는 \(\int_{0}^{1} v(t)\,dt = 4\), \(\int_{1}^{3} (-v(t))\,dt = 4\), \(\int_{3}^{4} v(t)\,dt = 4\)이므로 총 이동거리는 \(L = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \(3(t-1)(t-3) = 0\) 인수분해 및 부호 변화 확인 +3점 / \(t = 1, 3\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• \(\int_0^3 (3t^2 - 12t + 9)\,dt\) 계산 +4점 / 위치 \(0\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• \([0,1], [1,3], [3,4]\) 세 구간 절댓값 적분 분할 +4점 / \(L = 12\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(t = 3\)에서 위치가 \(0\)이라는 것은 원점으로 되돌아왔다는 뜻이므로 위치 변화량은 \(0\)이지만 이동거리는 \(4 + 4 = 8\)입니다.