2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 5회 (문제집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 실생활 방사성 동위원소의 반감기와 지수·로그 모델링

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 문제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> 초기 질량이 \(M_0\)인 어떤 방사성 물질이 일정한 반감기 \(T\)년마다 절반으로 줄어들 때, \(t\)년 후 남아 있는 물질의 질량 \(M(t)\)는 \(M(t) = M_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\)이다.

반감기가 \(T = 15\)년인 어떤 방사성 물질의 초기 질량이 \(M_0 = 64\,\mathrm{g}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(45\)년 후 남아 있는 물질의 질량 \(M(45)\)를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 남아 있는 물질의 질량이 초기 질량의 \(\dfrac{1}{16}\) 이하가 되려면 최소 몇 년이 지나야 하는지 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(t_1\)년 후의 질량이 \(M(t_1) = 24\,\mathrm{g}\)일 때, \((t_1 + 30)\)년 후 남아 있는 물질의 질량 \(M(t_1 + 30)\)을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 2] 코사인법칙과 각의 이등분선·중선의 길이 논증

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 두 변 \(b, c\)와 끼인각 \(A\)가 주어질 때 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)이고, 삼각형의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)이다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4,\; A = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이 \(a\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AH}\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 \(A\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 할 때, 넓이 분할 \(S = \triangle\mathrm{ABD} + \triangle\mathrm{ACD}\)를 이용하여 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 3] 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 계산

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 삼차방정식 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 2(a + 1)x^2 + 4ax + 3\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 조립제법을 이용하여 \(f'(x)\)를 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(a = 0\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 4] 삼차방정식의 실근의 개수와 극값의 부호 판정

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 극값을 갖는 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 방정식 \(g(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \((극댓값)\times(극솟값) \lt 0\)이고, 중근과 다른 한 실근을 가질 조건은 \((극댓값)\times(극솟값) = 0\)이다.

삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(k\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)라 할 때, \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값을 \(k\)에 대한 식으로 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 그때의 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 주어진 방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 5] 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 위치·이동거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x_0\)일 때, 시각 \(t = a\)에서의 위치는 \(x(a) = x_0 + \int_{0}^{a} v(t)\,dt\)이고, 시각 \(t = 0\)부터 \(t = a\)까지 실제로 움직인 거리는 \(\int_{0}^{a} |v(t)|\,dt\)이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(L\)을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :