2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 4회 (해설집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 등식 조건이 주어진 세 양수의 실수 지수 관계 논증

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(1\)이 아닌 양수 \(a, b, c\)와 실수 \(x, y, z\)에 대하여 \(a^x = b^y = c^z = k\;(k \gt 0, k \ne 1)\)라 하면 \(a = k^{\frac{1}{x}},\; b = k^{\frac{1}{y}},\; c = k^{\frac{1}{z}}\)로 나타낼 수 있다.

\(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)와 \(0\)이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)가 \(2^x = 5^y = 10^z\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(2^x = 5^y = 10^z = k\)로 놓아 \(2, 5, 10\)을 각각 \(k\)의 거듭제곱으로 나타내고, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{z}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 양수 \(a, b\)에 대하여 \(a^x = b^y = 6^z\)이고 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{z}\)일 때, \(ab\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 문항 [1-2]의 조건에서 \(a + b = 13\;(a \lt b)\)일 때, 두 양수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(0\) | [1-2] \(ab = 36\) | [1-3] \(a = 4,\; b = 9\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 공통의 값 \(k\)로 놓고 지수법칙 \(k^p \cdot k^q = k^{p+q}\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(2 = k^{\frac{1}{x}},\; 5 = k^{\frac{1}{y}},\; 10 = k^{\frac{1}{z}}\)이고 \(2 \times 5 = 10\)이므로 \(k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}} \implies \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{z} = 0\)이다. 같은 방법으로 \(a^x = b^y = 6^z = m\)이라 하면 \(ab = m^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = m^{\frac{2}{z}} = (6^2) = 36\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a + b = 13,\; ab = 36\)이므로 \(t^2 - 13t + 36 = (t - 4)(t - 9) = 0\)에서 \(a \lt b\)에 의해 \(a = 4,\; b = 9\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(2 = k^{1/x}, 5 = k^{1/y}, 10 = k^{1/z}\) 표현 +3점 / \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z} = 0\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• \(ab = m^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = m^{\frac{2}{z}}\) 관계 유도 +4점 / \(ab = 36\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 이차방정식 \(t^2 - 13t + 36 = 0\) 수립 +4점 / \(a = 4,\; b = 9\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 지수에 역수 형태 \(\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}, \dfrac{1}{z}\)가 등장할 때는 밑을 통일하기 위해 공통 상수 \(k\)를 도입하는 것이 핵심입니다.

[대문항 2] 삼각방정식의 일반해 구조와 대칭성을 이용한 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.21 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 삼각방정식 \(\cos x = k\;(-1 \lt k \lt 1)\)의 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 하면, 함수 \(y = \cos x\)의 그래프는 직선 \(x = \pi\)에 대하여 대칭이므로 \(\dfrac{\alpha + \beta}{2} = \pi\), 즉 \(\alpha + \beta = 2\pi\)이다.

\(0 \le x \le 2\pi\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 좌변을 인수분해하여 \(\cos x\)의 값을 구하고, 구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식의 모든 실근을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(\cos x = -\dfrac{1}{3}\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 제시문 (가)를 이용하여 \(\alpha + \beta\)의 값과 \(\cos\left(\dfrac{\alpha + \beta}{3}\right)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 구간 \([0, 2\pi]\)에서 부등식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 \le 0\)의 해를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(x = 0,\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; 2\pi\) | [2-2] \(\alpha + \beta = 2\pi,\; \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\) | [2-3] \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \le 2\pi\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \((2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0\)으로 인수분해하고 제시문 (가)의 직선 \(x = \pi\) 대칭성을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\cos x = 1\)에서 \(x = 0, 2\pi\)이고 \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\)에서 \(x = \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}\)이다. 또한 \(\cos x = -\dfrac{1}{3}\)의 두 근은 \(x = \pi\) 대칭이므로 \(\alpha + \beta = 2\pi\)이고 \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \((2\cos x + 1)(\cos x - 1) \le 0 \iff -\dfrac{1}{2} \le \cos x \le 1\)이므로 구간 \([0, 2\pi]\)에서 해는 \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \le 2\pi\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \((2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0\) 인수분해 +2점 / 네 실근 \(0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi\) 산출 +4점
소문항 [2-2] (7점)	• 대칭성으로 \(\alpha + \beta = 2\pi\) 도출 +4점 / \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점
소문항 [2-3] (7점)	• \(-\dfrac{1}{2} \le \cos x \le 1\) 범위 도출 +4점 / \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \le 2\pi\) 작성 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\cos x \le 1\)은 모든 실수에서 성립하므로 \(-\dfrac{1}{2} \le \cos x \le 1\)은 결국 \(\cos x \ge -\dfrac{1}{2}\)인 구간을 찾는 것과 같습니다.

[대문항 3] 무리식을 포함한 극한의 유리화와 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(\lim_{x \to a} \dfrac{\sqrt{x + p} - q}{x - a} = L\)이 존재할 때, \(\lim_{x \to a}(x - a) = 0\)이므로 \(\lim_{x \to a}(\sqrt{x + p} - q) = \sqrt{a + p} - q = 0\)이어야 하며, 분자를 유리화하여 극한값 \(L\)을 구한다.

극한 등식 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(b\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 분자를 유리화하여 약분한 극한식을 쓰시오.

[문항 3-2] (7점) 두 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 위에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(b = \sqrt{3 + a}\), 극한식 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{1}{\sqrt{x+a} + \sqrt{3+a}}\) | [3-2] \(a = 1,\; b = 2\) | [3-3] \(\dfrac{3}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(x \to 3\)일 때 분모가 \(0\)이므로 분자도 \(0\)이 되어 \(b = \sqrt{3 + a}\;(b \gt 0)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 유리화하면 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + a} + b)} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\)에서 \(b = 2\)이고 \(\sqrt{3 + a} = 2 \implies a = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a = 1, b = 2\)를 대입하고 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x(3x)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - 2x}} = \dfrac{3}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(b = \sqrt{3+a}\) 관계 도출 +3점 / 유리화 약분식 작성 +3점
소문항 [3-2] (7점)	• \(\dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\)로부터 \(b = 2\) 산출 +4점 / \(a = 1\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• \(\infty - \infty\) 꼴 유리화 정리 +4점 / 극한값 \(\dfrac{3}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자를 유리화할 때 \((\sqrt{x+a})^2 - (\sqrt{3+a})^2 = (x + a) - (3 + a) = x - 3\)이 되어 분모의 \(x - 3\)과 정확히 약분됩니다.

[대문항 4] 삼차함수의 일대일대응(역함수 존재) 조건과 미분계수

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.31 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가(또는 역함수가 존재)하기 위한 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)인 것, 즉 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)인 것이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 2)x + 1\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 실수 \(a\)가 문항 [4-1]의 최댓값을 가질 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 변곡성 접선(기울기가 최소인 접선)의 접점의 좌표와 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(a = 0\)일 때, 방정식 \(f(x) = 4\)의 유일한 실근을 \(\alpha\)라 하자. \(\alpha\)의 값과 그 점에서 \(f'(\alpha)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(-2 \le a \le 3\) | [4-2] 접점 \((-1, -2)\), 접선 \(y = -2\) | [4-3] \(\alpha = 1,\; f'(1) = 5\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + (2a + 3)\)을 구하고 제시문 (가)에 의해 판별식 \(D/4 \le 0\)을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(D/4 = a^2 - 3(a + 2) = (a + 2)(a - 3) \le 0\)에서 \(-2 \le a \le 3\)이다. \(a\)의 최댓값 \(3\)을 대입하면 \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 5x + 1\)이고 \(f'(x) = 3(x + 1)^2 \ge 0\)이므로 기울기가 최소(\(0\))인 접점은 \((-1, -2)\), 접선의 방정식은 \(y = -2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a = 0\)일 때 \(f(x) = x^3 + 2x + 1 = 4 \iff (x - 1)(x^2 + x + 3) = 0\)이므로 유일한 실근은 \(\alpha = 1\)이고, \(f'(x) = 3x^2 + 2\)에서 \(f'(1) = 5\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + a + 2 \ge 0\) 조건 및 \(D/4 = (a+2)(a-3) \le 0\) 수립 +4점 / \(-2 \le a \le 3\) 도출 +2점
소문항 [4-2] (7점)	• \(a = 3\) 대입 후 \(f'(x) = 3(x+1)^2\) 정리 +4점 / 접점 \((-1, -2)\), 접선 \(y = -2\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(a = 0\)에서 \(x^3 + 2x + 1 = 4 \implies \alpha = 1\) 산출 +4점 / \(f'(1) = 5\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 때는 \(f'(x) = 0\)인 중근이 하나 존재해도 증가성이 유지되므로 등호(\(D \le 0\))가 반드시 포함됩니다.

[대문항 5] 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 0 원리)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 연속함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 세 점 \((a, 0),\; (b, 0),\; (c, 0)\;(a \lt b \lt c)\)에서 만나고 구간 \((a, b)\)에서 \(f(x) \gt 0\), 구간 \((b, c)\)에서 \(f(x) \lt 0\)일 때, 두 영역의 넓이 \(S_1, S_2\)가 서로 같을 필요충분조건은 \(\int_{a}^{c} f(x)\,dx = 0\)이다.

이차함수 \(f(x) = x^2 - 4x\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_1\), \(x\)축 위쪽에서 \(x = 4\)부터 \(x = k\;(k \gt 4)\)까지 곡선과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 \(S_1\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(S_1 = S_2\)일 때, 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{0}^{k} (x^2 - 4x)\,dx = 0\)이 성립함을 설명하고 상수 \(k\;(k \gt 4)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = x^2 - 4x\)와 직선 \(y = mx\;(m \gt -4)\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(36\)이 되도록 하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [5-2] \(k = 6\) | [5-3] \(m = 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 구간 \([0, 4]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S_1 = -\int_{0}^{4} (x^2 - 4x)\,dx\)이고, 제시문 (가)에 의해 \(S_1 = S_2 \iff \int_{0}^{k} f(x)\,dx = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S_1 = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2\right]_{0}^{4} = \dfrac{32}{3}\)이다. 또한 \(\int_{0}^{k} (x^2 - 4x)\,dx = \dfrac{1}{3}k^3 - 2k^2 = \dfrac{1}{3}k^2(k - 6) = 0\)에서 \(k \gt 4\)이므로 \(k = 6\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x^2 - 4x = mx \implies x(x - (m + 4)) = 0\)이므로 교점은 \(0\)과 \(m + 4\;(m + 4 \gt 0)\)이다. 정적분 넓이 \(\int_{0}^{m+4} ((m+4)x - x^2)\,dx = \dfrac{(m + 4)^3}{6} = 36\)에서 \((m + 4)^3 = 216 = 6^3 \implies m = 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \(-\int_0^4 (x^2 - 4x)\,dx\) 식 작성 +3점 / \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• \(\int_0^k (x^2 - 4x)\,dx = \dfrac{1}{3}k^2(k-6) = 0\) 유도 +4점 / \(k = 6\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• 교점 \(0, m+4\) 및 넓이 \(\dfrac{(m+4)^3}{6} = 36\) 수립 +4점 / \(m = 2\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(S_1\)과 \(S_2\)를 각각 따로 계산해 같다고 놓는 대신 \(\int_0^k f(x)\,dx = 0\)을 풀면 계산량이 절반으로 줄어듭니다.