2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 4회 (문제집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 등식 조건이 주어진 세 양수의 실수 지수 관계 논증

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(1\)이 아닌 양수 \(a, b, c\)와 실수 \(x, y, z\)에 대하여 \(a^x = b^y = c^z = k\;(k \gt 0, k \ne 1)\)라 하면 \(a = k^{\frac{1}{x}},\; b = k^{\frac{1}{y}},\; c = k^{\frac{1}{z}}\)로 나타낼 수 있다.

\(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)와 \(0\)이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)가 \(2^x = 5^y = 10^z\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(2^x = 5^y = 10^z = k\)로 놓아 \(2, 5, 10\)을 각각 \(k\)의 거듭제곱으로 나타내고, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{z}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 양수 \(a, b\)에 대하여 \(a^x = b^y = 6^z\)이고 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{z}\)일 때, \(ab\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 문항 [1-2]의 조건에서 \(a + b = 13\;(a \lt b)\)일 때, 두 양수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 2] 삼각방정식의 일반해 구조와 대칭성을 이용한 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.21 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 삼각방정식 \(\cos x = k\;(-1 \lt k \lt 1)\)의 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 하면, 함수 \(y = \cos x\)의 그래프는 직선 \(x = \pi\)에 대하여 대칭이므로 \(\dfrac{\alpha + \beta}{2} = \pi\), 즉 \(\alpha + \beta = 2\pi\)이다.

\(0 \le x \le 2\pi\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 좌변을 인수분해하여 \(\cos x\)의 값을 구하고, 구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식의 모든 실근을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(\cos x = -\dfrac{1}{3}\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 제시문 (가)를 이용하여 \(\alpha + \beta\)의 값과 \(\cos\left(\dfrac{\alpha + \beta}{3}\right)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 구간 \([0, 2\pi]\)에서 부등식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 \le 0\)의 해를 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 3] 무리식을 포함한 극한의 유리화와 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(\lim_{x \to a} \dfrac{\sqrt{x + p} - q}{x - a} = L\)이 존재할 때, \(\lim_{x \to a}(x - a) = 0\)이므로 \(\lim_{x \to a}(\sqrt{x + p} - q) = \sqrt{a + p} - q = 0\)이어야 하며, 분자를 유리화하여 극한값 \(L\)을 구한다.

극한 등식 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(b\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 분자를 유리화하여 약분한 극한식을 쓰시오.

[문항 3-2] (7점) 두 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 위에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 4] 삼차함수의 일대일대응(역함수 존재) 조건과 미분계수

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.31 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가(또는 역함수가 존재)하기 위한 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)인 것, 즉 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)인 것이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 2)x + 1\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 실수 \(a\)가 문항 [4-1]의 최댓값을 가질 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 변곡성 접선(기울기가 최소인 접선)의 접점의 좌표와 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(a = 0\)일 때, 방정식 \(f(x) = 4\)의 유일한 실근을 \(\alpha\)라 하자. \(\alpha\)의 값과 그 점에서 \(f'(\alpha)\)의 값을 각각 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 5] 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 0 원리)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 연속함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 세 점 \((a, 0),\; (b, 0),\; (c, 0)\;(a \lt b \lt c)\)에서 만나고 구간 \((a, b)\)에서 \(f(x) \gt 0\), 구간 \((b, c)\)에서 \(f(x) \lt 0\)일 때, 두 영역의 넓이 \(S_1, S_2\)가 서로 같을 필요충분조건은 \(\int_{a}^{c} f(x)\,dx = 0\)이다.

이차함수 \(f(x) = x^2 - 4x\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_1\), \(x\)축 위쪽에서 \(x = 4\)부터 \(x = k\;(k \gt 4)\)까지 곡선과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 \(S_1\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(S_1 = S_2\)일 때, 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{0}^{k} (x^2 - 4x)\,dx = 0\)이 성립함을 설명하고 상수 \(k\;(k \gt 4)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = x^2 - 4x\)와 직선 \(y = mx\;(m \gt -4)\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(36\)이 되도록 하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :