2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 3회 (해설집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 3회 (해설집) | 제3회 (자연계열 수리논술 심화 — 유리수지수대칭식·주기대칭삼각합·무한대영분의영극한·평균값정리상수함수·대칭구간정적분)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 양수와 음수 지수의 대칭식과 세제곱·네제곱 변형 논증

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(a \gt 0\)일 때 \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^0 = 1\)이므로, \(k = a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\)이라 하면 \(a + a^{-1} = k^2 - 2\)이고 \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = k^3 - 3k\)이다.

양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 \(\dfrac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 2}{a + a^{-1} + 3}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(a + a^{-1} = 7,\; a^2 + a^{-2} = 47\) | [1-2] \(18\) | [1-3] \(2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)의 곱셈 공식 변형 \(a + a^{-1} = k^2 - 2\)와 \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = k^3 - 3k\)에 \(k = 3\)을 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a + a^{-1} = 3^2 - 2 = 7\)이고, \(a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 49 - 2 = 47\)이다. 또한 \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 위 값을 분수식에 대입하면 \(\dfrac{18 + 2}{7 + 3} = \dfrac{20}{10} = 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(a + a^{-1} = 7\) 산출 +3점 / \(a^2 + a^{-2} = 47\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• 세제곱 곱셈 공식 변형 \(3^3 - 3(3)\) 적용 +4점 / 값 \(18\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 분자 \(20\), 분모 \(10\) 대입 +4점 / 값 \(2\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a + a^{-1}\)을 구할 때 \(3^2 = 9\)에서 멈추지 않고 \(2 a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}} = 2\)를 반드시 빼 주어야 합니다.

[대문항 2] 코사인함수의 주기와 대칭성을 활용한 합 계산

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \cos bx\;(b \gt 0)\)의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{b}\)이고, 그 그래프는 직선 \(x = \dfrac{T}{2}\)에 대하여 대칭이며 점 \(\left(\dfrac{T}{4}, 0\right)\)에 대하여 점대칭이다.

주기함수 \(f(x) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 주기 \(T\)를 구하고, \(f(1) + f(2) + f(3)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 한 주기에 해당하는 \(6\)개의 함숫값의 합 \(\sum_{k=1}^{6} f(k)\)의 값을 구하고 그 이유를 대칭성으로 서술하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{20} f(k)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] 주기 \(T = 6\), \(f(1)+f(2)+f(3) = -3\) | [2-2] \(0\) | [2-3] \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 주기 \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6\)이고, \(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta\) 대칭성을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(1) = \dfrac{3}{2},\; f(2) = -\dfrac{3}{2},\; f(3) = -3\)이므로 합은 \(-3\)이다. 또한 \(f(4) = -\dfrac{3}{2},\; f(5) = \dfrac{3}{2},\; f(6) = 3\)이므로 한 주기 합은 \(\sum_{k=1}^{6} f(k) = -3 + 3 = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(20 = 6 \times 3 + 2\)이고 주기성에 의해 처음 \(18\)개 항의 합은 \(0\)이므로, \(\sum_{k=1}^{20} f(k) = f(1) + f(2) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} = 0\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 주기 \(T = 6\) 산출 +2점 / \(f(1)+f(2)+f(3) = -3\) 도출 +4점
소문항 [2-2] (7점)	• \(f(4), f(5), f(6)\) 계산 또는 대칭 상쇄 설명 +4점 / 한 주기 합 \(0\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (7점)	• \(20 = 6 \times 3 + 2\) 주기 분할 +4점 / \(f(1) + f(2) = 0\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 한 주기의 함숫값 합이 \(0\)임을 먼저 보이면 큰 자연수까지의 합을 나머지 항 몇 개만으로 즉시 계산할 수 있습니다.

[대문항 3] 무한대 분수 극한과 영분의 영 꼴 극한의 결합

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 두 다항식 \(P(x), Q(x)\)의 차수가 같을 때 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}\)의 값은 두 다항식의 최고차항의 계수의 비와 같다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to a} \dfrac{P(x)}{x - a} = L\)이 존재하면 \(P(a) = 0\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 2x} = 2\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 6\)을 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 최고차항의 계수를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to -2} \dfrac{f(x)}{x + 2}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(2\)차식, 최고차항 계수 \(2\) | [3-2] \(f(x) = 2x^2 + 2x - 4\) | [3-3] \(-6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(f(x)\)는 최고차항이 \(2x^2\)인 이차식이고, 제시문 (나)에 의해 \(f(1) = 0\)이므로 \(f(x) = 2(x - 1)(x - k)\)로 놓는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\lim_{x \to 1} \dfrac{2(x - 1)(x - k)}{x - 1} = 2(1 - k) = 6\)에서 \(1 - k = 3 \implies k = -2\)이므로 \(f(x) = 2(x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 2x - 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(\lim_{x \to -2} \dfrac{2(x - 1)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} 2(x - 1) = -6\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 분모 \(x^2 + 2x\)와 차수 비교하여 \(2\)차식 및 최고차항 계수 \(2\) 도출 +6점
소문항 [3-2] (7점)	• \(f(x) = 2(x-1)(x-k)\) 인수 설정 +3점 / \(k = -2\) 및 \(f(x) = 2x^2 + 2x - 4\) 완성 +4점
소문항 [3-3] (7점)	• \(x + 2\) 인수 약분 +4점 / 극한값 \(-6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(1) = 0\)임을 이용해 처음부터 \(f(x) = 2(x - 1)(x - k)\)로 인수분해 형태로 두면 미지수가 \(1\)개로 줄어듭니다.

[대문항 4] 평균값 정리를 이용한 두 함수의 일치 및 부등식 증명

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(h(x)\)가 열린구간 \((a, b)\)의 모든 \(x\)에서 \(h'(x) = 0\)이면, \(h(x)\)는 닫힌구간 \([a, b]\)에서 상수함수이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) = g'(x)\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(h(x) = f(x) - g(x)\)라 할 때, 임의의 두 실수 \(x_1, x_2\;(x_1 \lt x_2)\)에 대하여 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 평균값 정리를 적용하여 \(h(x_1) = h(x_2)\)임을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) \(g(x) = 3x^2 - 4x\)이고 \(f(0) = 5\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 미분가능한 함수 \(p(x)\)가 모든 실수 \(x\)에서 \(p'(x) \ge 2\)이고 \(p(1) = 3\)일 때, 평균값 정리를 이용하여 \(p(4)\)의 최솟값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 평균값 정리 증명 (해설 참조) | [4-2] \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5,\; f(2) = 9\) | [4-3] 최솟값 \(9\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(h(x) = f(x) - g(x)\)는 미분가능하고 모든 실수에서 \(h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \([x_1, x_2]\)에서 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{h(x_2) - h(x_1)}{x_2 - x_1} = h'(c) = 0\)인 \(c \in (x_1, x_2)\)가 존재하므로 \(h(x_1) = h(x_2) = C\)이다. \(f(0) - g(0) = 5\)에서 \(C = 5\)이므로 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5,\; f(2) = 9\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 \([1, 4]\)에서 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{p(4) - p(1)}{4 - 1} = p'(c) \ge 2\)이므로 \(p(4) \ge p(1) + 6 = 9\)가 되어 최솟값은 \(9\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(h(x) = f(x) - g(x)\)에 평균값 정리 식 작성 +4점 / \(h'(c) = 0 \implies h(x_1)=h(x_2)\) 결론 +2점
소문항 [4-2] (7점)	• 상수 \(C = 5\) 결정 및 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\) 작성 +4점 / \(f(2) = 9\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(\dfrac{p(4)-p(1)}{3} = p'(c) \ge 2\) 부등식 수립 +4점 / 최솟값 \(9\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수의 부등식 \(p'(x) \ge 2\)로부터 함숫값의 범위를 구할 때는 구간 \([1, 4]\)에서의 평균값 정리를 쓰는 것이 가장 엄밀합니다.

[대문항 5] 정적분의 구간 결합 성질과 우함수·기함수 대칭 적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 임의의 실수 \(a, b, c\)에 대하여 \(\int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\)이다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-a, a]\)에서 기함수의 정적분은 \(0\)이고 우함수의 정적분은 \(2\int_{0}^{a} f(x)\,dx\)이다.

다항함수 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 6x - 2\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(I_1 = \int_{-3}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{3} f(x)\,dx\)를 하나의 정적분으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(I_1\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 모든 실수 \(x\)에서 \(g(-x) = g(x)\)를 만족시키는 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\int_{0}^{2} g(x)\,dx = 5\)일 때, \(\int_{-2}^{2} (3x^3 - 2x + 1)g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(I_1 = \int_{-3}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 6x - 2)\,dx\) | [5-2] \(I_1 = -66\) | [5-3] \(10\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \([-3, 1]\)과 \([1, 3]\)을 \([-3, 3]\)으로 결합하고, 제시문 (나)로 홀수차 항을 소거한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(I_1 = \int_{-3}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 6x - 2)\,dx = 2\int_{0}^{3} (-3x^2 - 2)\,dx = 2\left[-x^3 - 2x\right]_{0}^{3} = 2(-27 - 6) = -66\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x)\)가 우함수이므로 \((3x^3 - 2x)g(x)\)는 기함수가 되어 적분이 \(0\)이고, \(\int_{-2}^{2} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} g(x)\,dx = 10\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 구간 결합 \(\int_{-3}^{3} f(x)\,dx\) 정확히 표현 +6점
소문항 [5-2] (7점)	• 홀수차 항 소거 후 \(2\int_0^3 (-3x^2 - 2)\,dx\) 변환 +4점 / \(-66\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• 기함수 곱 \((3x^3 - 2x)g(x)\) 소거 설명 +4점 / \(2\int_0^2 g(x)\,dx = 10\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 우함수 \(g(x)\)와 기함수 \(3x^3 - 2x\)를 곱한 함수는 기함수이므로 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서 정적분이 \(0\)이 됩니다.