2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 3회 (문제집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 양수와 음수 지수의 대칭식과 세제곱·네제곱 변형 논증

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(a \gt 0\)일 때 \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^0 = 1\)이므로, \(k = a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\)이라 하면 \(a + a^{-1} = k^2 - 2\)이고 \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = k^3 - 3k\)이다.

양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 \(\dfrac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 2}{a + a^{-1} + 3}\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 2] 코사인함수의 주기와 대칭성을 활용한 합 계산

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \cos bx\;(b \gt 0)\)의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{b}\)이고, 그 그래프는 직선 \(x = \dfrac{T}{2}\)에 대하여 대칭이며 점 \(\left(\dfrac{T}{4}, 0\right)\)에 대하여 점대칭이다.

주기함수 \(f(x) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 주기 \(T\)를 구하고, \(f(1) + f(2) + f(3)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 한 주기에 해당하는 \(6\)개의 함숫값의 합 \(\sum_{k=1}^{6} f(k)\)의 값을 구하고 그 이유를 대칭성으로 서술하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{20} f(k)\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 3] 무한대 분수 극한과 영분의 영 꼴 극한의 결합

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 두 다항식 \(P(x), Q(x)\)의 차수가 같을 때 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}\)의 값은 두 다항식의 최고차항의 계수의 비와 같다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to a} \dfrac{P(x)}{x - a} = L\)이 존재하면 \(P(a) = 0\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 2x} = 2\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 6\)을 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 최고차항의 계수를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to -2} \dfrac{f(x)}{x + 2}\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 4] 평균값 정리를 이용한 두 함수의 일치 및 부등식 증명

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(h(x)\)가 열린구간 \((a, b)\)의 모든 \(x\)에서 \(h'(x) = 0\)이면, \(h(x)\)는 닫힌구간 \([a, b]\)에서 상수함수이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) = g'(x)\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(h(x) = f(x) - g(x)\)라 할 때, 임의의 두 실수 \(x_1, x_2\;(x_1 \lt x_2)\)에 대하여 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 평균값 정리를 적용하여 \(h(x_1) = h(x_2)\)임을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) \(g(x) = 3x^2 - 4x\)이고 \(f(0) = 5\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 미분가능한 함수 \(p(x)\)가 모든 실수 \(x\)에서 \(p'(x) \ge 2\)이고 \(p(1) = 3\)일 때, 평균값 정리를 이용하여 \(p(4)\)의 최솟값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 5] 정적분의 구간 결합 성질과 우함수·기함수 대칭 적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 임의의 실수 \(a, b, c\)에 대하여 \(\int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\)이다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-a, a]\)에서 기함수의 정적분은 \(0\)이고 우함수의 정적분은 \(2\int_{0}^{a} f(x)\,dx\)이다.

다항함수 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 6x - 2\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(I_1 = \int_{-3}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{3} f(x)\,dx\)를 하나의 정적분으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(I_1\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 모든 실수 \(x\)에서 \(g(-x) = g(x)\)를 만족시키는 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\int_{0}^{2} g(x)\,dx = 5\)일 때, \(\int_{-2}^{2} (3x^3 - 2x + 1)g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :