2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 2회 (해설집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 지수법칙을 이용한 대칭 분수 지수식의 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(a \gt 0\)이고 \(x, y\)가 실수일 때 \(a^x a^y = a^{x+y},\; \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\; a^0 = 1\)이다.
<제시문 (나)> \(a^{2x}\)의 값이 주어졌을 때 분수식 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 분자·분모에 \(a^x\)을 곱하면 \(a^{2x}\)에 대한 유리식으로 변형된다.

양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(a^{2x} = 5\)일 때 \(a^{4x} + a^{-4x}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\dfrac{2}{3}\) | [1-2] \(\dfrac{21}{5}\) | [1-3] \(\dfrac{626}{25}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가), (나)에 의해 분자·분모에 \(a^x\)을 곱하여 \(a^{2x} = 5,\; a^{-2x} = \dfrac{1}{5}\)을 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{a^x(a^x - a^{-x})}{a^x(a^x + a^{-x})} = \dfrac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \dfrac{5 - 1}{5 + 1} = \dfrac{2}{3}\)이다. 또한 \(a^{3x} + a^{-3x} = (a^x + a^{-x})(a^{2x} - 1 + a^{-2x})\)이므로 약분하면 \(a^{2x} - 1 + a^{-2x} = 5 - 1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{5}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a^{4x} + a^{-4x} = (a^{2x})^2 + (a^{2x})^{-2} = 25 + \dfrac{1}{25} = \dfrac{626}{25}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• 분자·분모에 \(a^x\) 곱하여 \(\dfrac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}\) 변형 +3점 / \(\dfrac{2}{3}\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• 세제곱 인수분해 약분 또는 \(a^x\) 곱셈 변형 +4점 / \(\dfrac{21}{5}\) 도출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• \(25 + \dfrac{1}{25}\) 식 작성 +4점 / \(\dfrac{626}{25}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 문항 [1-2]에서 \(a^{3x} + a^{-3x}\)를 \((a^x + a^{-x})(a^{2x} - 1 + a^{-2x})\)로 인수분해하면 분모와 즉시 약분됩니다.

[대문항 2] 삼각함수의 그래프의 주기와 최댓값·최솟값 및 미정계수 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x) = a\sin(bx + c) + d\;(a \gt 0, b \gt 0)\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{b}\), 최댓값은 \(a + d\), 최솟값은 \(-a + d\)이다.

함수 \(f(x) = a\sin\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + d\)의 최댓값이 \(7\), 최솟값이 \(-1\)이고, 주기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a \gt 0,\; b \gt 0\))

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 세 상수 \(a, b, d\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(f(x)\)가 최댓값 \(7\)을 가질 때의 \(x\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 4,\; b = 4,\; d = 3\) | [2-2] \(6 + 2\sqrt{3}\) | [2-3] \(x = \dfrac{5\pi}{24}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(a + d = 7,\; -a + d = -1\) 및 \(\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{\pi}{2}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 연립하면 \(a = 4,\; d = 3,\; b = 4\)이므로 \(f(x) = 4\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3\)이다. 따라서 \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 4\sin\dfrac{\pi}{3} + 3 = 3 + 2\sqrt{3}\)이고 \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4\sin\pi + 3 = 3\)이므로 합은 \(6 + 2\sqrt{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(-\dfrac{\pi}{3} \le 4x - \dfrac{\pi}{3} \le \dfrac{5\pi}{3}\)이므로 \(\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1\)일 때 \(4x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} \implies x = \dfrac{5\pi}{24}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(a = 4,\; d = 3\) 산출 +4점 / \(b = 4\) 산출 +2점
소문항 [2-2] (7점)	• \(f(\pi/6) = 3 + 2\sqrt{3},\; f(\pi/3) = 3\) 각각 계산 +4점 / 합 \(6 + 2\sqrt{3}\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (7점)	• \(4x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}\) 방정식 수립 +4점 / \(x = \dfrac{5\pi}{24}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 합성각 \(4x - \dfrac{\pi}{3}\)의 범위를 먼저 확인한 뒤 사인값이 \(1\)이 되는 특수각 \(\dfrac{\pi}{2}\)과 같다고 놓으세요.

[대문항 3] 합성함수의 극한에서 내부 함수의 방향성 판정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 합성함수의 극한 \(\lim_{x \to a} f(g(x))\)를 구할 때는 \(t = g(x)\)로 놓아 \(x \to a\)일 때 \(t\)가 어떤 값 \(L\)보다 크면서 \(L\)에 한없이 가까워지는지(\(t \to L+\)), 작으면서 가까워지는지(\(t \to L-\)), 또는 상수 \(L\)로 일정한지를 구분하여 계산한다.

함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \lt 1) \\ 4 & (x = 1) \\ -x + 6 & (x \gt 1) \end{cases}\)와 이차함수 \(g(x) = x^2 + 1\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(\lim_{x \to 1-} f(x)\)와 \(\lim_{x \to 1+} f(x)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(x \to 0\)일 때 \(g(x) = x^2 + 1\)의 값의 변화를 조사하여 합성함수의 극한 \(\lim_{x \to 0} f(g(x))\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(h(x) = -x^2 + 1\)일 때 \(\lim_{x \to 0} f(h(x))\)의 값을 구하고, 문항 [3-2]의 결과와 다른 이유를 서술하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 좌극한 \(3\), 우극한 \(5\) | [3-2] \(5\) | [3-3] \(3\) (\(h(x) \to 1-\)이므로 좌극한 적용)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(t = g(x),\; s = h(x)\)의 \(x \to 0\;(x \ne 0)\)에서의 방향성을 각각 판정한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\lim_{x \to 1-} f(x) = 3,\; \lim_{x \to 1+} f(x) = 5\)이다. \(x \to 0\;(x \ne 0)\)일 때 \(x^2 \gt 0\)이므로 \(t = x^2 + 1 \to 1+\)가 되어 \(\lim_{x \to 0} f(g(x)) = \lim_{t \to 1+} f(t) = 5\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 반면 \(x \to 0\;(x \ne 0)\)일 때 \(s = -x^2 + 1 \lt 1\)이므로 \(s \to 1-\)가 되어 \(\lim_{x \to 0} f(h(x)) = \lim_{s \to 1-} f(s) = 3\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 좌극한 \(3\), 우극한 \(5\) 각각 산출 +6점
소문항 [3-2] (7점)	• \(x \ne 0\)에서 \(g(x) \gt 1 \implies t \to 1+\) 판정 +4점 / 우극한 \(5\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• \(h(x) \lt 1 \implies s \to 1-\) 판정 및 값 \(3\) 도출 +4점 / 방향성 차이 이유 서술 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\lim_{x \to 0} f(g(x))\)를 함숫값 \(f(g(0)) = f(1) = 4\)로 잘못 대입하지 않도록 \(t \to 1+\) 방향성을 꼭 확인하세요.

[대문항 4] 도함수 미분방정식 항등식을 만족시키는 다항함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 최고차항이 \(a x^n\) (\(a \ne 0\))인 \(n\)차 다항함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)의 최고차항은 \(n a x^{n-1}\)이므로, \(x f'(x)\)의 최고차항은 \(n a x^n\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(x f'(x) - 2f(x) = x^3 + 4x - 6\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 최고차항의 계수를 구하고, 그 이유를 서술하시오.

[문항 4-2] (7점) \(f(x)\)의 이차항 계수가 \(2\)일 때, 항등식의 계수 비교를 통해 다항함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(f(1) + f'(1)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(3\)차식, 최고차항 계수 \(1\) | [4-2] \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\) | [4-3] \(5\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x)\)를 최고차항이 \(a x^n\)인 \(n\)차식이라 하면 좌변 \(x f'(x) - 2f(x)\)의 최고차항은 \((n - 2)a x^n\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 우변이 \(x^3\)으로 시작하므로 \(n = 3\)이고 \((3 - 2)a = 1 \implies a = 1\)이다. \(f(x) = x^3 + 2x^2 + bx + c\)를 대입하면 좌변은 \(x^3 - bx - 2c\)이므로 \(b = -4,\; c = 3\)이 되어 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(1) = 1 + 2 - 4 + 3 = 2\)이고, \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\)에서 \(f'(1) = 3\)이므로 \(f(1) + f'(1) = 5\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• 최고차항 비교 \((n-2)a x^n = x^3\) 서술 +3점 / \(n = 3,\; a = 1\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (7점)	• \(x f'(x) - 2f(x) = x^3 - bx - 2c\) 정리 +4점 / \(b = -4,\; c = 3\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(f(1) = 2,\; f'(1) = 3\) 각각 계산 +4점 / 합 \(5\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 \(2x^2\)은 \(x(4x) - 2(2x^2) = 0\)으로 항등식 좌변에서 자동으로 소거되므로 문제에서 주어진 이차항 계수 \(2\)를 그대로 반영해야 합니다.

[대문항 5] 구간별로 도함수가 주어진 연속함수의 부정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 구간별로 주어질 때, 각 구간에서 부정적분을 구하면 적분상수 \(C_1, C_2\)가 각각 나타나며, 경계점에서의 연속 조건으로 두 적분상수를 결정한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(x \ne 1\)인 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2 & (x \lt 1) \\ 4x + 1 & (x \gt 1) \end{cases}\)를 만족시키고 \(f(0) = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(x \lt 1\)인 구간에서 부정적분과 초기조건 \(f(0) = 3\)을 이용하여 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속임을 이용하여 \(x \ge 1\)인 구간에서 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(f(-2) + f(3)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(f(x) = x^3 - 2x + 3\;(x \lt 1)\) | [5-2] \(f(x) = 2x^2 + x - 1\;(x \ge 1)\) | [5-3] \(19\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 두 구간에서 각각 부정적분을 구하고 \(f(0)=3\) 및 \(\lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1+} f(x)\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x \lt 1\)에서 \(f(x) = x^3 - 2x + C_1\)이고 \(f(0) = C_1 = 3\)이므로 \(f(x) = x^3 - 2x + 3\)이다. \(x \ge 1\)에서 \(f(x) = 2x^2 + x + C_2\)이고 \(x = 1\) 연속 조건 \(1 - 2 + 3 = 2 + 1 + C_2\)에서 \(C_2 = -1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(-2) = (-2)^3 - 2(-2) + 3 = -1\)이고, \(f(3) = 2(9) + 3 - 1 = 20\)이므로 \(f(-2) + f(3) = 19\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \(x \lt 1\) 부정적분 및 \(C_1 = 3\) 결정 +6점
소문항 [5-2] (7점)	• \(x \ge 1\) 부정적분 \(2x^2 + x + C_2\) 작성 +3점 / \(x=1\) 연속으로 \(C_2 = -1\) 도출 +4점
소문항 [5-3] (7점)	• \(f(-2) = -1,\; f(3) = 20\) 산출 +4점 / 합 \(19\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 구간별로 부정적분을 구할 때 두 구간의 적분상수를 같은 문자 \(C\)로 놓지 말고 \(C_1, C_2\)로 구분해야 합니다.