2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 2회 (문제집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 지수법칙을 이용한 대칭 분수 지수식의 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(a \gt 0\)이고 \(x, y\)가 실수일 때 \(a^x a^y = a^{x+y},\; \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\; a^0 = 1\)이다.
<제시문 (나)> \(a^{2x}\)의 값이 주어졌을 때 분수식 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 분자·분모에 \(a^x\)을 곱하면 \(a^{2x}\)에 대한 유리식으로 변형된다.

양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(a^{2x} = 5\)일 때 \(a^{4x} + a^{-4x}\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 2] 삼각함수의 그래프의 주기와 최댓값·최솟값 및 미정계수 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x) = a\sin(bx + c) + d\;(a \gt 0, b \gt 0)\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{b}\), 최댓값은 \(a + d\), 최솟값은 \(-a + d\)이다.

함수 \(f(x) = a\sin\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + d\)의 최댓값이 \(7\), 최솟값이 \(-1\)이고, 주기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a \gt 0,\; b \gt 0\))

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 세 상수 \(a, b, d\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(f(x)\)가 최댓값 \(7\)을 가질 때의 \(x\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 3] 합성함수의 극한에서 내부 함수의 방향성 판정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 합성함수의 극한 \(\lim_{x \to a} f(g(x))\)를 구할 때는 \(t = g(x)\)로 놓아 \(x \to a\)일 때 \(t\)가 어떤 값 \(L\)보다 크면서 \(L\)에 한없이 가까워지는지(\(t \to L+\)), 작으면서 가까워지는지(\(t \to L-\)), 또는 상수 \(L\)로 일정한지를 구분하여 계산한다.

함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \lt 1) \\ 4 & (x = 1) \\ -x + 6 & (x \gt 1) \end{cases}\)와 이차함수 \(g(x) = x^2 + 1\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(\lim_{x \to 1-} f(x)\)와 \(\lim_{x \to 1+} f(x)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(x \to 0\)일 때 \(g(x) = x^2 + 1\)의 값의 변화를 조사하여 합성함수의 극한 \(\lim_{x \to 0} f(g(x))\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(h(x) = -x^2 + 1\)일 때 \(\lim_{x \to 0} f(h(x))\)의 값을 구하고, 문항 [3-2]의 결과와 다른 이유를 서술하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 4] 도함수 미분방정식 항등식을 만족시키는 다항함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 최고차항이 \(a x^n\) (\(a \ne 0\))인 \(n\)차 다항함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)의 최고차항은 \(n a x^{n-1}\)이므로, \(x f'(x)\)의 최고차항은 \(n a x^n\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(x f'(x) - 2f(x) = x^3 + 4x - 6\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 최고차항의 계수를 구하고, 그 이유를 서술하시오.

[문항 4-2] (7점) \(f(x)\)의 이차항 계수가 \(2\)일 때, 항등식의 계수 비교를 통해 다항함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(f(1) + f'(1)\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 5] 구간별로 도함수가 주어진 연속함수의 부정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 구간별로 주어질 때, 각 구간에서 부정적분을 구하면 적분상수 \(C_1, C_2\)가 각각 나타나며, 경계점에서의 연속 조건으로 두 적분상수를 결정한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(x \ne 1\)인 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2 & (x \lt 1) \\ 4x + 1 & (x \gt 1) \end{cases}\)를 만족시키고 \(f(0) = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(x \lt 1\)인 구간에서 부정적분과 초기조건 \(f(0) = 3\)을 이용하여 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속임을 이용하여 \(x \ge 1\)인 구간에서 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(f(-2) + f(3)\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :