2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 1회 (해설집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 거듭제곱근의 연산 법칙과 유리수 지수의 곱셈 공식 변형

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(a \gt 0, b \gt 0\)이고 \(m, n\)이 \(2\) 이상의 자연수일 때, 거듭제곱근의 성질 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)가 성립한다.
<제시문 (나)> 양수 \(x\)에 대하여 \(t = x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}\)이라 하면 \(x - x^{-1} = t^3 + 3t\)가 성립한다.

제시문 (가)와 (나)를 바탕으로 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(A = \sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{32} - \dfrac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt{\sqrt[3]{64}}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}} = 2\)일 때, \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}}\)의 값과 \(x - x^{-1}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 조건에서 \(\dfrac{x^2 - x^{-2}}{x + x^{-1}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(A = 3\) | [1-2] \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}} = 6,\; x - x^{-1} = 14\) | [1-3] \(14\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)의 거듭제곱근 결합 법칙과 제시문 (나)의 세제곱 곱셈 공식 변형 \(a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)\)를 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(A = \sqrt[3]{64} - \sqrt[4]{81} + \sqrt[6]{64} = 4 - 3 + 2 = 3\)이다. 또한 \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}} = \left(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}\right)^2 + 2 = 4 + 2 = 6\)이고, \(x - x^{-1} = 2^3 + 3(2) = 14\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 합차 공식에 의해 \(\dfrac{x^2 - x^{-2}}{x + x^{-1}} = \dfrac{(x - x^{-1})(x + x^{-1})}{x + x^{-1}} = x - x^{-1} = 14\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(\sqrt[3]{64}=4,\; \sqrt[4]{81}=3,\; \sqrt[6]{64}=2\) 각각 산출 +4점 / \(A = 3\) 도출 +2점
소문항 [1-2] (7점)	• \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}} = 6\) 산출 +3점 / \(x - x^{-1} = 14\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (7점)	• 분자 합차 인수분해 및 \(x + x^{-1} \gt 0\) 약분 +4점 / 값 \(14\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x^2 - x^{-2}\)를 직접 계산하지 않고 \((x - x^{-1})(x + x^{-1})\)로 인수분해하여 분모와 약분하면 계산이 매우 간결합니다.

[대문항 2] 사분면에서 삼각함수의 부호와 절댓값 식의 정리

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

<제시문 (가)> 좌표평면에서 각 \(\theta\)의 동경이 위치한 사분면에 따라 삼각함수의 부호가 결정된다. 제\(1\)사분면은 모두 양수, 제\(2\)사분면은 \(\sin\theta\)만 양수, 제\(3\)사분면은 \(\tan\theta\)만 양수, 제\(4\)사분면은 \(\cos\theta\)만 양수이다.
<제시문 (나)> 임의의 실수 \(A\)에 대하여 \(\sqrt{A^2} = |A|\)이다.

\(0\)이 아닌 삼각함수 값에 대하여 \(\sin\theta\cos\theta \lt 0\)이고 \(\sin\theta\tan\theta \lt 0\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta\)의 부호를 각각 판정하고, 각 \(\theta\)가 제몇 사분면의 각인지 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 식 \(E = \sqrt{\sin^2\theta} - \sqrt{(\sin\theta - \cos\theta)^2} + \sqrt{(\cos\theta + \tan\theta)^2}\)을 근호와 절댓값 기호 없이 간단히 정리하시오.

[문항 2-3] (7점) 위 조건을 만족시키는 각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = -\dfrac{5}{13}\)일 때, 위 식 \(E\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0,\; \tan\theta \lt 0\), 제\(2\)사분면 | [2-2] \(E = -\tan\theta\) | [2-3] \(\dfrac{12}{5}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(\sin\theta\cos\theta \lt 0\)과 \(\sin\theta\tan\theta \lt 0\)을 동시에 만족시키는 사분면의 부호를 판정한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\sin\theta\cos\theta \lt 0\)이고 \(\sin\theta\tan\theta \lt 0\)이면 \(\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0,\; \tan\theta \lt 0\)이므로 제\(2\)사분면이다. 따라서 \(\sin\theta - \cos\theta \gt 0\), \(\cos\theta + \tan\theta \lt 0\)이므로 \(E = \sin\theta - (\sin\theta - \cos\theta) - (\cos\theta + \tan\theta) = -\tan\theta\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 제\(2\)사분면에서 \(\cos\theta = -\dfrac{5}{13}\)이면 \(\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\)이므로 \(E = -\tan\theta = \dfrac{12}{5}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 세 삼각함수의 부호 판정 +4점 / 제\(2\)사분면 결론 도출 +2점
소문항 [2-2] (7점)	• 각 절댓값 내부의 부호 판정 +4점 / \(E = -\tan\theta\) 정리 +3점
소문항 [2-3] (7점)	• \(\tan\theta = -\dfrac{12}{5}\) 산출 +4점 / \(E = \dfrac{12}{5}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\cos\theta \lt 0\)이고 \(\tan\theta \lt 0\)이므로 두 음수의 합 \(\cos\theta + \tan\theta\)는 음수가 되어 절댓값을 벗길 때 마이너스 부호가 붙습니다.

[대문항 3] 절댓값 기호를 포함한 함수의 좌·우극한과 수렴 조건

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 절댓값 기호를 포함한 함수의 \(x = a\)에서의 극한은 \(x \to a+\)일 때 \(|x - a| = x - a\)로, \(x \to a-\)일 때 \(|x - a| = -(x - a)\)로 바꾸어 좌극한과 우극한을 각각 구한다.

함수 \(f(x) = \dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2} + ax\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(x \ne 2\)이고 \(a\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) \(a = 0\)일 때, \(x = 2\)에서의 우극한 \(\lim_{x \to 2+} f(x)\)와 좌극한 \(\lim_{x \to 2-} f(x)\)를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(g(x) = (x - 2)f(x) + b\dfrac{|x - 2|}{x - 2}\)가 \(x = 2\)에서 극한값을 갖도록 하는 상수 \(b\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 \(h(x) = (x + k)\dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2}\)의 \(x = 2\)에서의 극한값 \(\lim_{x \to 2} h(x)\)가 존재하도록 하는 상수 \(k\)의 값과 그때의 극한값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 우극한 \(4\), 좌극한 \(-4\) | [3-2] \(b = 0\) | [3-3] \(k = -2\), 극한값 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(x \to 2+\)일 때 \(|x^2 - 4| = (x - 2)(x + 2)\)이고, \(x \to 2-\)일 때 \(|x^2 - 4| = -(x - 2)(x + 2)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a=0\)일 때 우극한은 \(\lim_{x \to 2+}(x+2) = 4\), 좌극한은 \(\lim_{x \to 2-}-(x+2) = -4\)이다. 또한 \(\lim_{x \to 2}(x-2)f(x) = 0\)이므로 \(g(x)\)의 우극한은 \(b\), 좌극한은 \(-b\)가 되어 \(b = -b \implies b = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(h(x)\)의 \(x = 2\)에서의 우극한은 \(4(2 + k)\), 좌극한은 \(-4(2 + k)\)이므로 두 값이 같으려면 \(4(2 + k) = -4(2 + k) \implies k = -2\)이고 극한값은 \(0\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 우극한 \(4\), 좌극한 \(-4\) 각각 정확히 산출 +6점
소문항 [3-2] (7점)	• \((x-2)f(x) \to 0\) 확인 및 \(b = -b\) 수립 +4점 / \(b = 0\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• \(4(2+k) = -4(2+k)\) 방정식 수립 +4점 / \(k = -2\), 극한값 \(0\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 우극한과 좌극한의 부호가 반대(\(\pm 4\))일 때 곱해진 다항식이 \(x = 2\)에서 \(0\)이 되어야 극한값이 존재합니다.

[대문항 4] 할선의 기울기(평균변화율)와 접선의 기울기(미분계수)의 기하적 비교

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(a\)에서 \(b\)까지 변할 때의 평균변화율 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)는 곡선 위의 두 점 \(\mathrm{A}(a, f(a)),\; \mathrm{B}(b, f(b))\)를 지나는 직선(할선)의 기울기이고, \(f'(a)\)는 점 \(\mathrm{A}\)에서의 접선의 기울기이다.

아래로 볼록한 이차함수 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)과 두 양수 \(a, b\;(1 \lt a \lt b)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 구간 \([a, b]\)에서의 평균변화율 \(M\)과 \(x = a,\; x = b\)에서의 미분계수 \(f'(a),\; f'(b)\)를 각각 \(a, b\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) \(1 \lt a \lt b\)일 때 세 값 \(f'(a),\; M,\; f'(b)\)의 대소 관계를 부등호로 나타내고, 차를 이용하여 증명하시오.

[문항 4-3] (7점) \(a = 2,\; b = 6\)일 때 \(\dfrac{f'(a) + f'(b)}{2}\)와 평균변화율 \(M\)의 값을 각각 구하여 비교하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(M = a + b - 2,\; f'(a) = 2a - 2,\; f'(b) = 2b - 2\) | [4-2] \(f'(a) \lt M \lt f'(b)\) | [4-3] 두 값 모두 \(6\)으로 일치

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 평균변화율 \(M = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)과 도함수 \(f'(x) = 2x - 2\)를 구한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(M = \dfrac{(b^2 - a^2) - 2(b - a)}{b - a} = a + b - 2\)이고, \(f'(a) = 2a - 2,\; f'(b) = 2b - 2\)이다. \(a \lt b\)이므로 \(M - f'(a) = b - a \gt 0\)이고 \(f'(b) - M = b - a \gt 0\)이 되어 \(f'(a) \lt M \lt f'(b)\)가 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a = 2, b = 6\)일 때 \(M = 2 + 6 - 2 = 6\)이고, \(\dfrac{f'(2) + f'(6)}{2} = \dfrac{2 + 10}{2} = 6\)으로 서로 일치한다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(M = a + b - 2\) 유도 +3점 / \(f'(a) = 2a - 2,\; f'(b) = 2b - 2\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (7점)	• \(M - f'(a) = b - a \gt 0\) 및 \(f'(b) - M = b - a \gt 0\) 증명 +5점 / 부등호 결론 +2점
소문항 [4-3] (7점)	• \(M = 6\) 및 산술평균 \(6\) 산출 +5점 / 일치 확인 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수에서는 구간의 평균변화율 \(M\)이 항상 양 끝점 미분계수의 산술평균 \(\dfrac{f'(a)+f'(b)}{2}\)과 같습니다.

[대문항 5] 접선의 방정식과 부정적분을 결합한 사차함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(\int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n+1} + C\) (\(C\)는 적분상수)이다.
<제시문 (나)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, b)\)에서의 접선의 방정식이 \(y = mx + k\)이면 \(f(a) = b\)이고 \(f'(a) = m\)이다.

다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + ax\)이고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식이 \(y = 2x\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(f(-1) + f(2)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(a = 4\) | [5-2] \(f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 1\) | [5-3] \(15\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)로부터 \(f(1) = 2,\; f'(1) = 2\)이고, 제시문 (가)의 부정적분 공식으로 원함수 \(f(x)\)를 구한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(1) = 4 - 6 + a = 2\)에서 \(a = 4\)이다. 부정적분을 구하면 \(f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 + C\)이고, \(f(1) = 1 - 2 + 2 + C = 2\)에서 \(C = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(-1) = 1 + 2 + 2 + 1 = 6\)이고 \(f(2) = 16 - 16 + 8 + 1 = 9\)이므로 \(f(-1) + f(2) = 15\)이다.

배점 단계 (총 20점)	덕성여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 접선의 기울기 \(f'(1) = 2\) 적용 +3점 / \(a = 4\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• 부정적분 \(x^4 - 2x^3 + 2x^2 + C\) 작성 +4점 / \(C = 1\) 결정 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• \(f(-1) = 6,\; f(2) = 9\) 각각 산출 +4점 / 합 \(15\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 접선 \(y = 2x\)의 기울기가 \(2\)이므로 \(f'(1) = 2\)이고, 점 \((1, 2)\)를 지나므로 \(f(1) = 2\)입니다.