2027학년도 대비 덕성여자대학교 수리논술 모의고사 1회 (문제집)

2027학년도 대비 덕성여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[대문항 1] 거듭제곱근의 연산 법칙과 유리수 지수의 곱셈 공식 변형

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02, 12대수01-03]

<제시문 (가)> \(a \gt 0, b \gt 0\)이고 \(m, n\)이 \(2\) 이상의 자연수일 때, 거듭제곱근의 성질 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)가 성립한다.
<제시문 (나)> 양수 \(x\)에 대하여 \(t = x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}\)이라 하면 \(x - x^{-1} = t^3 + 3t\)가 성립한다.

제시문 (가)와 (나)를 바탕으로 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(A = \sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{32} - \dfrac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt{\sqrt[3]{64}}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}} = 2\)일 때, \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}}\)의 값과 \(x - x^{-1}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 조건에서 \(\dfrac{x^2 - x^{-2}}{x + x^{-1}}\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 2] 사분면에서 삼각함수의 부호와 절댓값 식의 정리

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

<제시문 (가)> 좌표평면에서 각 \(\theta\)의 동경이 위치한 사분면에 따라 삼각함수의 부호가 결정된다. 제\(1\)사분면은 모두 양수, 제\(2\)사분면은 \(\sin\theta\)만 양수, 제\(3\)사분면은 \(\tan\theta\)만 양수, 제\(4\)사분면은 \(\cos\theta\)만 양수이다.
<제시문 (나)> 임의의 실수 \(A\)에 대하여 \(\sqrt{A^2} = |A|\)이다.

\(0\)이 아닌 삼각함수 값에 대하여 \(\sin\theta\cos\theta \lt 0\)이고 \(\sin\theta\tan\theta \lt 0\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta\)의 부호를 각각 판정하고, 각 \(\theta\)가 제몇 사분면의 각인지 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 식 \(E = \sqrt{\sin^2\theta} - \sqrt{(\sin\theta - \cos\theta)^2} + \sqrt{(\cos\theta + \tan\theta)^2}\)을 근호와 절댓값 기호 없이 간단히 정리하시오.

[문항 2-3] (7점) 위 조건을 만족시키는 각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = -\dfrac{5}{13}\)일 때, 위 식 \(E\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 3] 절댓값 기호를 포함한 함수의 좌·우극한과 수렴 조건

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 절댓값 기호를 포함한 함수의 \(x = a\)에서의 극한은 \(x \to a+\)일 때 \(|x - a| = x - a\)로, \(x \to a-\)일 때 \(|x - a| = -(x - a)\)로 바꾸어 좌극한과 우극한을 각각 구한다.

함수 \(f(x) = \dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2} + ax\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(x \ne 2\)이고 \(a\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) \(a = 0\)일 때, \(x = 2\)에서의 우극한 \(\lim_{x \to 2+} f(x)\)와 좌극한 \(\lim_{x \to 2-} f(x)\)를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(g(x) = (x - 2)f(x) + b\dfrac{|x - 2|}{x - 2}\)가 \(x = 2\)에서 극한값을 갖도록 하는 상수 \(b\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 \(h(x) = (x + k)\dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2}\)의 \(x = 2\)에서의 극한값 \(\lim_{x \to 2} h(x)\)가 존재하도록 하는 상수 \(k\)의 값과 그때의 극한값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 4] 할선의 기울기(평균변화율)와 접선의 기울기(미분계수)의 기하적 비교

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(a\)에서 \(b\)까지 변할 때의 평균변화율 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)는 곡선 위의 두 점 \(\mathrm{A}(a, f(a)),\; \mathrm{B}(b, f(b))\)를 지나는 직선(할선)의 기울기이고, \(f'(a)\)는 점 \(\mathrm{A}\)에서의 접선의 기울기이다.

아래로 볼록한 이차함수 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)과 두 양수 \(a, b\;(1 \lt a \lt b)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 구간 \([a, b]\)에서의 평균변화율 \(M\)과 \(x = a,\; x = b\)에서의 미분계수 \(f'(a),\; f'(b)\)를 각각 \(a, b\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) \(1 \lt a \lt b\)일 때 세 값 \(f'(a),\; M,\; f'(b)\)의 대소 관계를 부등호로 나타내고, 차를 이용하여 증명하시오.

[문항 4-3] (7점) \(a = 2,\; b = 6\)일 때 \(\dfrac{f'(a) + f'(b)}{2}\)와 평균변화율 \(M\)의 값을 각각 구하여 비교하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

[대문항 5] 접선의 방정식과 부정적분을 결합한 사차함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(\int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n+1} + C\) (\(C\)는 적분상수)이다.
<제시문 (나)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, b)\)에서의 접선의 방정식이 \(y = mx + k\)이면 \(f(a) = b\)이고 \(f'(a) = m\)이다.

다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + ax\)이고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식이 \(y = 2x\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(f(-1) + f(2)\)의 값을 구하시오.

[덕성여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :