소리의 세기가 \(I\,(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(L\,(\mathrm{dB})\)은 기준 소리 세기 \(I_0 = 10^{-12}\,(\mathrm{W/m^2})\)에 대하여 \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)으로 정의된다. 다음을 구하시오.

반지름의 길이가 \(r\), 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이가 \(l = 4\pi\)이고 넓이가 \(S = 12\pi\)일 때, 다음을 구하시오.

\(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)이 \(a_1 = 2,\; a_{n+1} - a_n = 3\)과 \(b_1 = 3,\; \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = 2\;(n = 1, 2, 3, \ldots)\)로 귀납적으로 정의될 때, 다음을 구하시오.

모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)\)가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명할 때, 다음을 구하시오.

함수 \(f(x)\)가 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(4x - 3 \le x f(x) \le 4x + 5\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.

미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(2) = 3,\; f'(2) = -2\)를 만족시킬 때, 함수 \(g(x) = (x^2 - 1)f(x)\)에 대하여 다음을 구하시오.

모든 실수 \(x\)에 대하여 사차부등식 \(3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(\int_{a}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\)인 상수이다.)

좌표가 \(2\)인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 6t - 2t^2\)일 때, 다음을 구하시오.