2027학년도 대비 동덕여자대학교 약술형 논술 모의고사 4회 (해설집)

2027학년도 대비 동덕여자대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[문항 1] 상용로그의 소수 부분 조건을 이용한 미지수 결정

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-05]

\(10 \le x \lt 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log x\)의 소수 부분과 \(\log x^3\)의 소수 부분이 서로 같을 때, 다음을 구하시오.

[1-1] (5점) \(\log x\)의 값의 범위를 구하고, 두 상용로그의 차 \(\log x^3 - \log x = 2\log x\)가 정수가 되어야 함을 이용하여 가능한 \(\log x\)의 값을 모두 구하시오.

[1-2] (5점) 위 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 곱을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(\log x = 1,\; \dfrac{3}{2}\) | [1-2] \(100\sqrt{10}\) (즉 \(10^{\frac{5}{2}}\))

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 상용로그의 소수 부분이 서로 같으면 두 상용로그의 차는 정수임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(10 \le x \lt 100\)에서 \(1 \le \log x \lt 2\)이므로 \(2 \le 2\log x \lt 4\)이고, \(2\log x\)가 정수이므로 \(2\log x = 2, 3 \implies \log x = 1, \dfrac{3}{2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(x = 10^1,\; 10^{\frac{3}{2}}\)이므로 두 실수 \(x\)의 곱은 \(10^{1 + \frac{3}{2}} = 10^{\frac{5}{2}} = 100\sqrt{10}\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• \(2 \le 2\log x \lt 4\) 범위 도출 +3점 / \(\log x = 1,\; \dfrac{3}{2}\) 산출 +2점
소문항 [1-2] (5점)	• \(x = 10,\; 10\sqrt{10}\) 도출 +3점 / 곱 \(100\sqrt{10}\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 소수 부분이 같다는 조건은 차 \(3\log x - \log x = 2\log x\)가 정수라는 뜻이며, \(\log x = 1\)일 때도 두 소수 부분이 모두 \(0\)으로 같아 성립합니다.

[문항 2] 지수함수와 로그함수의 결합 최댓값·최솟값

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-06]

닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 2^{x + 1} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 2}\)에 대하여 다음을 구하시오.

[2-1] (5점) 지수법칙을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 \(k \cdot a^x\) (\(k, a\)는 상수)의 꼴로 정리하고 증가·감소를 판정하시오.

[2-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 곱 \(Mm\)을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(f(x) = 18 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^x\), 감소함수 | [2-2] \(Mm = 216\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(a^{x+p} b^{x+q} = a^p b^q (ab)^x\) 변형과 밑 \(0 \lt ab \lt 1\)일 때의 감소 성질을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = 2 \cdot 2^x \cdot 9 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 18 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^x\)이고 밑이 \(\dfrac{2}{3} \lt 1\)이므로 감소함수이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 최댓값은 \(M = f(-1) = 18 \times \dfrac{3}{2} = 27\), 최솟값은 \(m = f(2) = 18 \times \dfrac{4}{9} = 8\)이므로 \(Mm = 27 \times 8 = 216\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• \(f(x) = 18 \cdot (2/3)^x\) 정리 +3점 / 밑 \(2/3 \lt 1\) 감소 판정 +2점
소문항 [2-2] (5점)	• \(M = 27,\; m = 8\) 각각 산출 +3점 / 곱 \(216\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 지수에 \(x\)가 두 군데 있을 때는 반드시 하나의 밑 \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\)으로 묶은 뒤 밑이 \(1\)보다 큰지 작은지를 판정해야 합니다.

[문항 3] 전파 감쇠 및 빛 투과율 실생활 지수부등식

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-08]

어떤 특수 필름 \(1\)장을 통과할 때마다 빛의 세기가 통과 전의 \(\dfrac{3}{4}\)배로 줄어든다. 처음 빛의 세기를 \(I_0\)이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.30,\; \log 3 = 0.48\)로 계산한다.)

[3-1] (5점) 이 필름 \(n\)장을 통과한 후의 빛의 세기 \(I_n\)을 \(I_0\)과 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 빛의 세기가 처음의 \(\dfrac{1}{100}\) 이하가 되기 위한 부등식을 세우시오.

[3-2] (5점) 양변에 상용로그를 취하여 빛의 세기가 처음의 \(\dfrac{1}{100}\) 이하가 되려면 최소 몇 장의 필름을 통과해야 하는지 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(I_n = I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n,\; \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{100}\) | [3-2] 최소 \(17\)장

[1줄: 공식선언 (30%)] 일정 비율 \(r\)로 감소하는 \(n\)단계 후의 양은 \(I_0 r^n\)이고 상용로그는 증가함수임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(I_n = I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{100}I_0 \iff \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le 10^{-2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 상용로그를 취하면 \(n(\log 3 - 2\log 2) \le -2 \implies n(0.48 - 0.60) = -0.12n \le -2 \implies n \ge \dfrac{200}{12} = 16.66\cdots\)이므로 최소 \(17\)장이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• \(I_n = I_0(3/4)^n\) 표현 +2점 / 부등식 \((3/4)^n \le 1/100\) 수립 +3점
소문항 [3-2] (5점)	• 상용로그 변환 \(-0.12n \le -2\) 계산 +3점 / 자연수 최소 \(17\)장 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(\log\dfrac{3}{4} = \log 3 - 2\log 2 = -0.12 \lt 0\)이므로 양변을 \(-0.12\)로 나눌 때 부등호 방향이 반대로 바뀝니다.

[문항 4] 원점과 좌표평면 위의 점을 지나는 동경의 삼각함수

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

좌표평면의 원점 \(\mathrm{O}\)와 제\(4\)사분면 위의 점 \(\mathrm{P}(5, -12)\)를 지나는 동경 \(\mathrm{OP}\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, 다음을 구하시오.

[4-1] (5점) 선분 \(\mathrm{OP}\)의 길이 \(r\)를 구하고 \(\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.

[4-2] (5점) \(13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(r = 13,\; \sin\theta = -\dfrac{12}{13},\; \cos\theta = \dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\) | [4-2] \(-29\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)와 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)에 대하여 \(\sin\theta = \dfrac{y}{r},\; \cos\theta = \dfrac{x}{r},\; \tan\theta = \dfrac{y}{x}\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(r = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = 13\)이므로 \(\sin\theta = -\dfrac{12}{13},\; \cos\theta = \dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 대입하면 \(13\left(-\dfrac{12}{13} - \dfrac{5}{13}\right) + 5\left(-\dfrac{12}{5}\right) = -17 - 12 = -29\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• \(r = 13\) 산출 +2점 / 세 삼각함수 값 정확히 도출 +3점
소문항 [4-2] (5점)	• 첫 항 \(-17\), 둘째 항 \(-12\) 계산 +3점 / 합 \(-29\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 제\(4\)사분면의 점이므로 \(x \gt 0, y \lt 0\)에 의해 \(\cos\theta\)만 양수이고 \(\sin\theta, \tan\theta\)는 음수입니다.

[문항 5] 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름과 변의 길이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(A = 45^\circ,\; B = 60^\circ,\; a = 6\sqrt{2}\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(R\)는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이이다.)

[5-1] (5점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이 \(R\)와 변 \(b\)의 길이를 각각 구하시오.

[5-2] (5점)外접원의 넓이와 반지름이 \(b\)인 원의 둘레의 길이를 각각 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(R = 6,\; b = 6\sqrt{3}\) | [5-2] 외접원 넓이 \(36\pi\), 둘레 \(12\sqrt{3}\pi\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2R = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 12\)이므로 \(R = 6\)이고, \(b = 2R\sin 60^\circ = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 외접원의 넓이는 \(\pi R^2 = 36\pi\)이고, 반지름이 \(b\)인 원의 둘레는 \(2\pi b = 12\sqrt{3}\pi\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• \(2R = 12 \implies R = 6\) 산출 +3점 / \(b = 6\sqrt{3}\) 도출 +2점
소문항 [5-2] (5점)	• 외접원 넓이 \(36\pi\) 산출 +3점 / 둘레 \(12\sqrt{3}\pi\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 \(\dfrac{a}{\sin A}\)의 값은 반지름 \(R\)가 아니라 지름 \(2R\)이므로 \(2\)로 나누어 \(R = 6\)을 구해야 합니다.

[문항 6] 다항함수의 극한 성질을 이용한 함수값 추론

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.

[6-1] (5점) \(\lim_{x \to 1} f(x)\)의 값을 구하고, 극한의 성질을 이용하여 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{f(x)}\)의 값을 구하시오.

[6-2] (5점) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{3x^2 - 3 + 2f(x)}{x - 1 - f(x)}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(\lim_{x \to 1} f(x) = 0\), 극한값 \(\dfrac{1}{2}\) | [6-2] \(-\dfrac{14}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)가 수렴하므로 분자·분모를 \(x - 1\)로 나누어 극한의 사칙연산 성질을 적용함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1}\cdot(x - 1) = 4 \times 0 = 0\)이고, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{f(x)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{x + 1}{\frac{f(x)}{x - 1}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분자·분모를 \(x - 1\)로 나누면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{3(x + 1) + 2\frac{f(x)}{x - 1}}{1 - \frac{f(x)}{x - 1}} = \dfrac{6 + 8}{1 - 4} = -\dfrac{14}{3}\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• \(\lim_{x\to 1} f(x) = 0\) 제시 +2점 / \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) 도출 +3점
소문항 [6-2] (5점)	• 분자·분모를 \(x - 1\)로 나눈 식 변형 +3점 / \(-\dfrac{14}{3}\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 주어진 조건의 형태 \(\dfrac{f(x)}{x - 1}\)를 만들기 위해 분자와 분모를 모두 \(x - 1\)로 나누는 것이 표준 해법입니다.

[문항 7] 구간에서의 평균변화율과 미분계수가 같아지는 점

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01]

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율과 \(x = c\;(c \gt 0)\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 서로 같을 때, 다음을 구하시오.

[7-1] (5점) \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.

[7-2] (5점) 양수 \(c\)의 값과 그때 \(f(c\sqrt{3})\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] 평균변화율 \(6\) | [7-2] \(c = \sqrt{3},\; f(3) = 20\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균변화율 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)과 미분계수 \(f'(c)\)의 정의를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(0) = 2,\; f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{20 - 2}{3 - 0} = 6\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6 \implies c^2 = 3\)에서 \(c \gt 0\)이므로 \(c = \sqrt{3}\)이고, \(f(c\sqrt{3}) = f(3) = 20\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• \(f(0)=2,\; f(3)=20\) 계산 +2점 / 평균변화율 \(6\) 산출 +3점
소문항 [7-2] (5점)	• \(3c^2 - 3 = 6 \implies c = \sqrt{3}\) 도출 +3점 / \(f(3) = 20\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(c^2 = 3\)에서 \(c = \pm\sqrt{3}\) 중 문제의 조건 \(c \gt 0\)에 따라 양수 \(\sqrt{3}\)만 선택해야 합니다.

[문항 8] 사차함수의 그래프의 개형과 극댓값·극솟값

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.42 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3\)에 대하여 다음을 구하시오.

[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하시오.

[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고 \(M + m\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(x = 0,\; 1,\; 2\) | [8-2] 극댓값 \(M = 4\), 극솟값 \(m = 3\), 합 \(7\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)에서 \(f'(x) = 0\)이고 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 바뀌는 점에서 극값을 가짐을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 \(x = 0, 1, 2\)에서 부호가 바뀐다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 1\)에서 극댓값 \(M = f(1) = 4\)이고, \(x = 0, 2\)에서 극솟값 \(m = f(0) = f(2) = 3\)이므로 \(M + m = 7\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / 극점 \(x = 0, 1, 2\) 도출 +2점
소문항 [8-2] (5점)	• 극댓값 \(4\), 극솟값 \(3\) 산출 +3점 / 합 \(7\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 이 사차함수는 직선 \(x = 1\)에 대하여 대칭이므로 두 극솟값 \(f(0)\)과 \(f(2)\)가 \(3\)으로 서로 같습니다.

[문항 9] 수직선 위를 움직이는 점의 순간속도와 가속도

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 \(v(t)\)와 가속도 \(a(t)\)를 각각 구하고, 가속도가 \(0\)이 되는 시각 \(t_0\)에서의 속도를 구하시오.

[9-2] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 두 시각에서의 가속도의 제곱의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] \(t_0 = 2,\; v(2) = -3\) | [9-2] \(72\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 \(x(t)\)에 대하여 속도 \(v(t) = x'(t)\), 가속도 \(a(t) = v'(t)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)\), \(a(t) = 6t - 12\)이므로 \(a(t_0) = 0 \implies t_0 = 2\)이고 \(v(2) = -3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1, 3\)이고 \(a(1) = -6,\; a(3) = 6\)이므로 제곱의 합은 \((-6)^2 + 6^2 = 72\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• \(v(t), a(t)\) 도출 +2점 / \(t_0 = 2\) 및 \(v(2) = -3\) 산출 +3점
소문항 [9-2] (5점)	• 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 및 \(a(1)=-6, a(3)=6\) 산출 +3점 / 제곱합 \(72\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차 위치 함수에서 운동 방향이 바뀌는 두 시각 \(t = 1, 3\)에서의 가속도는 크기가 같고 부호가 반대(\(\pm 6\))입니다.

[문항 10] 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

삼차곡선 \(y = x^3 - 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, 다음을 구하시오.

[10-1] (5점) 곡선과 \(x\)축의 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하고, 구간별 부호를 판정하여 넓이 \(S\)를 정적분 식으로 나타내시오.

[10-2] (5점) 기함수 대칭성을 이용하여 넓이 \(S\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [10-1] 교점 \(-2, 0, 2\),\; \(S = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x)\,dx + \int_{0}^{2} (-x^3 + 4x)\,dx\) | [10-2] \(S = 8\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 사이의 넓이는 \(\int |f(x)|\,dx\)이며 기함수는 원점 대칭임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(x + 2)(x - 2) = 0\)에서 교점은 \(-2, 0, 2\)이고 \([-2, 0]\)에서 \(y \ge 0\), \([0, 2]\)에서 \(y \le 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점 대칭에 의해 \(S = 2\int_{0}^{2} (-x^3 + 4x)\,dx = 2\left[-\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2\right]_{0}^{2} = 2(-4 + 8) = 8\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• 교점 \(-2, 0, 2\) 도출 +2점 / 두 구간 부호 분리 정적분 식 작성 +3점
소문항 [10-2] (5점)	• 한쪽 넓이 \(4\) 계산 +3점 / 대칭 \(2\)배로 \(S = 8\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 기함수를 \([-2, 2]\)에서 절댓값 없이 그대로 적분하면 \(0\)이 되므로 반드시 부호를 바꾸어 양수로 적분해야 합니다.