2027학년도 대비 동덕여자대학교 약술형 논술 모의고사 3회 (해설집)

2027학년도 대비 동덕여자대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[문항 1] 로그의 성질을 이용한 합·차의 소거 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.19 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

로그의 성질을 이용하여 두 식 \(A = \log_3 \dfrac{4}{3} + 2\log_3 \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)와 \(B = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 16\)에 대하여 다음을 구하시오.

[1-1] (5점) 진수의 곱셈·거듭제곱 성질을 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.

[1-2] (5점) 밑변환 공식을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 계산하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(A = 2\) | [1-2] \(B = 4,\; A + B = 6\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(\log_a M + k\log_a N = \log_a(M N^k)\)과 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log c\, b}{\log_c a}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \log_3 \left\{\dfrac{4}{3} \times \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right\} = \log_3 \left(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{27}{4}\right) = \log_3 9 = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{4\log 2}{\log 5} = 4\)이므로 \(A + B = 6\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• \(2\log_3 \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \log_3 \dfrac{27}{4}\) 변형 +3점 / \(A = \log_3 9 = 2\) 산출 +2점
소문항 [1-2] (5점)	• 밑변환 연쇄 약분으로 \(B = 4\) 도출 +3점 / \(A + B = 6\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 로그 앞에 곱해진 계수 \(2\)를 진수의 제곱으로 먼저 올린 뒤 진수끼리 곱해야 약분이 정확히 이루어집니다.

[문항 2] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선·절편

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

지수함수 \(y = 3^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 그래프의 식이 \(y = f(x)\)이다. 이 그래프의 점근선이 직선 \(y = -3\)이고 점 \((2, 6)\)을 지날 때, 다음을 구하시오.

[2-1] (5점) 두 상수 \(m, n\)의 값을 각각 구하고 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[2-2] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 좌표와 \(y\)축과 만나는 점의 좌표를 각각 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(m = 0,\; n = -3,\; f(x) = 3^x - 3\) | [2-2] \(x\)절편 \((1, 0)\), \(y\)절편 \((0, -2)\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(y = 3^x\)을 평행이동한 함수 \(f(x) = 3^{x - m} + n\)의 점근선은 직선 \(y = n\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 점근선이 \(y = -3\)이므로 \(n = -3\)이고, 점 \((2, 6)\)을 지나므로 \(3^{2 - m} - 3 = 6 \implies 3^{2 - m} = 9 = 3^2\)에서 \(m = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = 3^x - 3\)에서 \(f(x) = 0 \implies x = 1\)이므로 \(x\)절편은 \((1, 0)\), \(f(0) = 1 - 3 = -2\)이므로 \(y\)절편은 \((0, -2)\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• 점근선으로 \(n = -3\) 결정 +2점 / \((2, 6)\) 대입하여 \(m = 0\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (5점)	• \(x\)절편 \((1, 0)\) 산출 +3점 / \(y\)절편 \((0, -2)\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 지수함수 \(y = a^{x - m} + n\)의 점근선은 \(x\)축 평행이동 \(m\)과 무관하게 항상 직선 \(y = n\)입니다.

[문항 3] 로그방정식의 풀이와 진수 조건에 의한 무연근 제거

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-08]

로그방정식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) = 3\)에 대하여 다음을 구하시오.

[3-1] (5점) 주어진 방정식의 모든 로그가 정의되기 위한 진수 조건(\(x\)의 값의 범위)을 구하시오.

[3-2] (5점) 로그의 성질을 이용하여 이차방정식을 세우고, 진수 조건을 만족시키는 실근 \(x\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(x \gt 3\) | [3-2] \(x = 5\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그방정식을 풀 때는 먼저 각 로그의 진수가 양수일 조건을 구한 뒤 로그를 결합함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 진수 조건은 \(x - 1 \gt 0\)이고 \(x - 3 \gt 0\)이므로 공통 범위는 \(x \gt 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log_2\{(x - 1)(x - 3)\} = 3 \implies (x - 1)(x - 3) = 2^3 = 8 \implies x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) = 0\)에서 \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0\) 각각 제시 +3점 / 공통 범위 \(x \gt 3\) 도출 +2점
소문항 [3-2] (5점)	• \((x-1)(x-3) = 8\) 방정식 풀이 +3점 / \(x = -1\) 버리고 \(x = 5\) 선택 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 합쳐진 식 \((x-1)(x-3) \gt 0\)이 아니라 원래 식의 개별 진수 조건 \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0\)을 적용해야 무연근 \(x = -1\)을 걸러낼 수 있습니다.

[문항 4] 삼각함수의 평행이동과 대칭성을 이용한 식의 간단화

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

실수 \(\theta\)에 대하여 \(f(\theta) = 2\sin(\pi - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\)라 할 때, 다음을 구하시오.

[4-1] (5점) 각 변환 공식을 이용하여 네 항을 각각 \(\sin\theta\) 또는 \(\cos\theta\)로 나타내고 \(f(\theta)\)를 간단히 정리하시오.

[4-2] (5점) \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 방정식 \(f(\theta) = \dfrac{1}{2}\)을 만족시키는 모든 실근 \(\theta\)의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(f(\theta) = \sin\theta\) | [4-2] \(\pi\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 각 변환 공식 \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,\; \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta,\; \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) = \cos\theta,\; \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 식 \(f(\theta) = 2\sin(\pi - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\)에서 \(2\sin\theta - \cos\theta + \cos\theta - \sin\theta = \sin\theta\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 \(f(\theta) = \sin\theta = \dfrac{1}{2}\)의 두 근은 \(\theta = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}\)이므로 합은 \(\pi\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• 네 항의 각 변환 정확히 수행 +3점 / \(f(\theta) = \sin\theta\) 도출 +2점
소문항 [4-2] (5점)	• \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\)의 두 근 \(\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}\) 산출 +3점 / 합 \(\pi\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(\dfrac{\pi}{2} \pm \theta\) 변환에서는 함수가 \(\sin \leftrightarrow \cos\)으로 바뀌고, \(\pi \pm \theta\) 변환에서는 함수가 그대로 유지됩니다.

[문항 5] 삼각방정식으로 주어지는 이차방정식의 판별식 활용

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 문제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - (2\cos\theta)x + \sin^2\theta - \dfrac{1}{2} = 0\)이 실근을 갖도록 하는 \(\theta\;(0 \le \theta \le 2\pi)\)에 대하여 다음을 구하시오.

[5-1] (5점) 판별식 \(\dfrac{D}{4} \ge 0\)과 \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)를 이용하여 \(\cos\theta\)의 값의 범위를 구하시오.

[5-2] (5점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 위 조건을 만족시키는 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(\cos\theta \le -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\cos\theta \ge \dfrac{1}{2}\) | [5-2] \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{2\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{4\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{5\pi}{3} \le \theta \le 2\pi\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 이차방정식이 실근을 가질 조건 \(\dfrac{D}{4} \ge 0\)과 삼각함수 항등식 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{D}{4} = \cos^2\theta - \left(1 - \cos^2\theta - \dfrac{1}{2}\right) = 2\cos^2\theta - \dfrac{1}{2} \ge 0\)에서 \(\cos^2\theta \ge \dfrac{1}{4}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\cos\theta \le -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\cos\theta \ge \dfrac{1}{2}\)이므로 \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{2\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{4\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{5\pi}{3} \le \theta \le 2\pi\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• \(D/4 = 2\cos^2\theta - \dfrac{1}{2} \ge 0\) 정리 +3점 / \(\|\cos\theta\| \ge \dfrac{1}{2}\) 도출 +2점
소문항 [5-2] (5점)	• 구간 \([0, 2\pi]\)에서 세 구간 정확히 작성 +5점

💡 감점 방어 클리닉: \(\cos^2\theta \ge \dfrac{1}{4}\)을 풀 때 \(\cos\theta \ge \dfrac{1}{2}\)만 쓰지 말고 음수 범위 \(\cos\theta \le -\dfrac{1}{2}\)도 함께 챙겨야 합니다.

[문항 6] 무한대 마이너스 무한대 꼴 무리식의 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

극한 등식 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 3} - x\right) = 4\)가 성립할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[6-1] (5점) 분자를 유리화하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[6-2] (5점) 위에서 구한 \(a\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x\right)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(a = 8\) | [6-2] \(2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\infty - \infty\) 꼴 무리식의 극한은 켤레식 \(\sqrt{A} + B\)를 분자·분모에 곱하여 유리화함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{ax + 3}{\sqrt{x^2 + ax + 3} + x} = \dfrac{a}{1 + 1} = \dfrac{a}{2} = 4\)에서 \(a = 8\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a = 8\)을 대입하고 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{8x + 1}{\sqrt{4x^2 + 8x + 1} + 2x} = \dfrac{8}{2 + 2} = 2\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• 유리화 식 \(\dfrac{ax+3}{\sqrt{x^2+ax+3}+x}\) 변형 +3점 / \(\dfrac{a}{2} = 4 \implies a = 8\) 산출 +2점
소문항 [6-2] (5점)	• 유리화 후 분모 최고차항 계수 \(2 + 2 = 4\) 확인 +3점 / 극한값 \(2\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 문항 [6-2]에서는 근호 안 최고차항이 \(4x^2\)이므로 분모의 일차항 계수 합이 \(1 + 1 = 2\)가 아니라 \(2 + 2 = 4\)가 됩니다.

[문항 7] 사잇값의 정리를 이용한 실근 존재 구간 판정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.33 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

연속함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 2\)에 대하여 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 존재하는 구간을 조사하려고 한다. 다음을 구하시오.

[7-1] (5점) 네 정수에서의 함숫값 \(f(-2),\; f(-1),\; f(0),\; f(1)\)의 값을 각각 구하고 부호를 표시하시오.

[7-2] (5점) 사잇값의 정리를 이용하여 세 열린구간 \((-2, -1),\; (-1, 0),\; (0, 1)\) 중 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 반드시 존재하는 구간을 모두 찾고 그 이유를 쓰시오.

🎯 정답 : [7-1] \(f(-2) = -6 \lt 0,\; f(-1) = 3 \gt 0,\; f(0) = 2 \gt 0,\; f(1) = -3 \lt 0\) | [7-2] \((-2, -1)\)과 \((0, 1)\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(f(a)f(b) \lt 0\)이면 열린구간 \((a, b)\)에 실근이 적어도 하나 존재함(사잇값 정리)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(-2) = -8 - 8 + 8 + 2 = -6 \lt 0\), \(f(-1) = -1 - 2 + 4 + 2 = 3 \gt 0\), \(f(0) = 2 \gt 0\), \(f(1) = 1 - 2 - 4 + 2 = -3 \lt 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(-2)f(-1) \lt 0\)이고 \(f(0)f(1) \lt 0\)이므로 사잇값의 정리에 의해 실근이 반드시 존재하는 구간은 \((-2, -1)\)과 \((0, 1)\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• 네 함숫값 \(-6, 3, 2, -3\) 정확히 산출 +5점
소문항 [7-2] (5점)	• 양 끝점 함숫값의 곱이 음수인 조건 명시 +2점 / 두 구간 \((-2, -1),\; (0, 1)\) 선택 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 사잇값의 정리를 서술할 때는 '다항함수 \(f(x)\)는 각 닫힌구간에서 연속이다'라는 전제를 함께 적어 주어야 감점이 없습니다.

[문항 8] 점프 불연속점과 첨점에서의 연속성·미분가능성 비교

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

함수 \(f(x) = 3|x - 2| + x^2\)에 대하여 \(x = 2\)에서의 연속성과 미분가능성을 조사하려고 한다. 다음을 구하시오.

[8-1] (5점) \(\lim_{x \to 2} f(x)\)와 \(f(2)\)를 비교하여 \(x = 2\)에서의 연속성을 판정하시오.

[8-2] (5점) \(x = 2\)에서의 우미분계수 \(\lim_{h \to 0+} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}\)와 좌미분계수를 각각 구하고, \(x = 2\)에서 미분가능한지 판정하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4\) (연속) | [8-2] 우미분계수 \(7\), 좌미분계수 \(1\) (미분불가능)

[1줄: 공식선언 (30%)] 연속 조건 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)와 미분가능 조건(좌·우미분계수 일치)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to 2} (3|x - 2| + x^2) = 0 + 4 = 4 = f(2)\)이므로 \(x = 2\)에서 연속이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \dfrac{3|h| + 4h + h^2}{h}\)에서 \(h \to 0+\)일 때 우미분계수는 \(3 + 4 = 7\), \(h \to 0-\)일 때 좌미분계수는 \(-3 + 4 = 1\)이므로 서로 달라 미분가능하지 않다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• 극한값 \(4\)와 함숫값 \(f(2) = 4\) 일치 확인 및 연속 판정 +5점
소문항 [8-2] (5점)	• 우미분계수 \(7\), 좌미분계수 \(1\) 산출 +3점 / 불일치로 미분불가능 판정 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(2 + h) - f(2) = 3|h| + (2 + h)^2 - 4 = 3|h| + 4h + h^2\)에서 \(4h\) 항을 빠뜨리지 않도록 주의하세요.

[문항 9] 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차방정식 \(x^3 - 12x - k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 함수 \(f(x) = x^3 - 12x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[9-2] (5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] 극댓값 \(16\), 극솟값 \(-16\) | [9-2] \(-16 \lt k \lt 16\), 정수 \(31\)개

[1줄: 공식선언 (30%)] 방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)의 교점의 개수와 같음을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x + 2)(x - 2) = 0\)에서 \(x = -2\)일 때 극댓값 \(f(-2) = 16\), \(x = 2\)일 때 극솟값 \(f(2) = -16\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 직선 \(y = k\)가 극솟값과 극댓값 사이를 지나야 하므로 \(-16 \lt k \lt 16\)이고, 정수 \(k\)의 개수는 \(16 - (-16) - 1 = 31\)개이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• \(f'(x) = 3(x+2)(x-2) = 0\) 도출 +2점 / 극댓값 \(16\), 극솟값 \(-16\) 산출 +3점
소문항 [9-2] (5점)	• \(-16 \lt k \lt 16\) 범위 도출 +3점 / 정수 \(31\)개 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(k = \pm 16\)일 때는 접하여 중근과 다른 한 실근(총 \(2\)개)을 가지므로 등호를 제외해야 합니다.

[문항 10] 정적분의 정의와 위끝·아래끝 성질을 이용한 계산

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

정적분 \(A = \int_{1}^{3} \left(3x^2 - 4x + 1\right)\,dx\)와 \(B = \int_{2}^{2} \left(x^4 + 5x^2 - 7\right)\,dx + \int_{2}^{0} (2x + 3)\,dx\)에 대하여 다음을 구하시오.

[10-1] (5점) 정적분의 기본 정리를 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.

[10-2] (5점) 위끝과 아래끝이 같은 정적분 및 위끝·아래끝 교환 성질을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 계산하시오.

🎯 정답 : [10-1] \(A = 12\) | [10-2] \(B = -10,\; A + B = 2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\) 및 \(\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) 성질을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{1}^{3} = (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1) = 12 - 0 = 12\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = 0 - \int_{0}^{2} (2x + 3)\,dx = -\left[x^2 + 3x\right]_{0}^{2} = -(4 + 6) = -10\)이므로 \(A + B = 2\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• 부정적분 \(\left[x^3 - 2x^2 + x\right]_1^3\) 작성 +3점 / \(A = 12\) 산출 +2점
소문항 [10-2] (5점)	• \(\int_2^2 = 0\) 처리 및 \(-\int_0^2(2x+3)\,dx = -10\) 산출 +3점 / \(A + B = 2\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 위끝과 아래끝이 같은 정적분 \(\int_2^2 (\cdots)\,dx\)는 피적분함수를 적분할 필요 없이 즉시 \(0\)입니다.