2027학년도 대비 동덕여자대학교 약술형 논술 모의고사 2회 (해설집)

2027학년도 대비 동덕여자대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (90분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 2합7)

[문항 1] 로그의 정의를 이용한 연쇄 로그 방정식의 해

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

\(a \gt 0,\; a \ne 1\)일 때 로그 방정식 \(\log_2\left\{\log_3\left(\log_a 512\right)\right\} = 1\)과 \(\log_{\sqrt{2}} x = 6\)을 만족시키는 양수 \(a, x\)에 대하여 다음을 구하시오.

[1-1] (5점) 로그의 정의 \(p = \log_b N \iff b^p = N\)을 바깥쪽부터 차례로 적용하여 양수 \(a\)의 값을 구하시오.

[1-2] (5점) 양수 \(x\)의 값을 구하고 \(a + x\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(a = 2\) | [1-2] \(x = 8,\; a + x = 10\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 정의 \(\log_b N = p \iff N = b^p\)를 바깥쪽 로그부터 순차적으로 적용함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_3(\log_a 512) = 2^1 = 2 \implies \log_a 512 = 3^2 = 9\)이므로 \(a^9 = 512 = 2^9\)에서 \(a = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = (\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8\)이므로 \(a + x = 2 + 8 = 10\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• \(\log_3(\log_a 512) = 2\) 및 \(\log_a 512 = 9\) 유도 +3점 / \(a = 2\) 산출 +2점
소문항 [1-2] (5점)	• \(x = (\sqrt{2})^6 = 8\) 산출 +3점 / \(a + x = 10\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 바깥쪽 로그의 밑이 \(2\)이고 우변이 \(1\)이므로 안쪽 진수는 \(2^1 = 2\)가 됩니다.

[문항 2] 상용로그의 정수 부분과 소수 부분의 활용

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05]

\(\log 4.25 = 0.6284\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (5점) 상용로그의 성질을 이용하여 \(\log 4250\)과 \(\log 0.0425\)의 값을 각각 구하시오.

[2-2] (5점) \(\log N = -1.3716\)을 만족시키는 양수 \(N\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(\log 4250 = 3.6284,\; \log 0.0425 = -1.3716\) | [2-2] \(N = 0.0425\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(N = a \times 10^n\;(1 \le a \lt 10,\; n\text{은 정수})\)일 때 \(\log N = n + \log a\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log 4250 = \log(4.25 \times 10^3) = 3 + 0.6284 = 3.6284\)이고, \(\log 0.0425 = \log(4.25 \times 10^{-2}) = -2 + 0.6284 = -1.3716\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(-1.3716 = -2 + 0.6284 = \log(10^{-2} \times 4.25)\)이므로 \(N = 0.0425\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• \(\log 4250 = 3.6284\) 산출 +2점 / \(\log 0.0425 = -1.3716\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (5점)	• \(-1.3716 = -2 + 0.6284\) 분리 +3점 / \(N = 0.0425\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 음수 상용로그 \(-1.3716\)의 소수 부분은 \(-0.3716\)이 아니라 \(-2 + 0.6284\)에서의 양수 \(0.6284\)입니다.

[문항 3] 로그함수의 그래프의 평행이동과 최댓값·최솟값

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

닫힌구간 \([1, 13]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \log_2 (x + 3) + k\)의 최댓값이 \(7\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

[3-1] (5점) 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수의 증가 성질을 이용하여 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

[3-2] (5점) 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값 \(m\)과 그래프의 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(k = 3\) | [3-2] 최솟값 \(m = 5\), 점근선 \(x = -3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수 \(f(x)\)는 증가함수이므로 구간 \([1, 13]\)에서 \(f(13)\)이 최댓값, \(f(1)\)이 최솟값임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 최댓값은 \(f(13) = \log_2 16 + k = 4 + k = 7\)이므로 \(k = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 최솟값은 \(m = f(1) = \log_2 4 + 3 = 2 + 3 = 5\)이고, 진수가 \(0\)이 되는 경계인 점근선의 방정식은 \(x = -3\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• 증가함수 판정 및 \(f(13) = 4 + k = 7\) 수립 +3점 / \(k = 3\) 도출 +2점
소문항 [3-2] (5점)	• 최솟값 \(f(1) = 5\) 산출 +3점 / 점근선 \(x = -3\) 명시 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 로그함수 \(y = \log_a(x - p) + q\)의 점근선은 \(y\)축 평행이동 \(q\)와 무관하게 진수 \(x - p = 0\)인 직선 \(x = p\)입니다.

[문항 4] 동경의 위치 관계(일치·원점 대칭)를 이용한 각의 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\)일 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각 \(7\theta\)를 나타내는 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대(원점 대칭)이다. 다음을 구하시오.

[4-1] (5점) 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 조건 \(7\theta - \theta = 2n\pi + \pi\) (\(n\)은 정수)를 이용하여 각 \(\theta\)의 값을 모두 구하시오.

[4-2] (5점) 위에서 구한 \(\theta\)에 대하여 \(\sin 2\theta + \cos 2\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) | [4-2] \(\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대이면 두 각의 차가 \(2n\pi + \pi\) (\(n\)은 정수)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(6\theta = (2n + 1)\pi\)에서 \(\theta = \dfrac{2n + 1}{6}\pi\)이고, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\)를 만족시키는 정수는 \(n = 0\)뿐이므로 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(2\theta = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 \(\sin\dfrac{\pi}{3} + \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• \(6\theta = (2n+1)\pi\) 관계식 수립 +3점 / 범위 적용하여 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) 도출 +2점
소문항 [4-2] (5점)	• \(2\theta = \dfrac{\pi}{3}\) 대입 +2점 / \(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(n = 1\)일 때는 \(\theta = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\)가 되어 열린구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에 포함되지 않습니다.

[문항 5] 사인함수의 주기와 진폭 변형 그래프의 최대·최소

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

삼각함수 \(f(x) = -3\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.

[5-1] (5점) 함수 \(f(x)\)의 주기 \(T\), 최댓값 \(M\), 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[5-2] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 만나도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] 주기 \(T = \pi\), 최댓값 \(M = 5\), 최솟값 \(m = -1\) | [5-2] \(7\)개

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(y = a\sin(bx + c) + d\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{|b|}\), 최댓값은 \(|a| + d\), 최솟값은 \(-|a| + d\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a = -3,\; b = 2,\; d = 2\)이므로 주기 \(T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\), 최댓값 \(M = |-3| + 2 = 5\), 최솟값 \(m = -|-3| + 2 = -1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 치역이 \([-1, 5]\)이므로 직선 \(y = k\)와 만나려면 \(-1 \le k \le 5\)이어야 하며, 정수 \(k\)의 개수는 \(5 - (-1) + 1 = 7\)개이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• 주기 \(T = \pi\) 산출 +2점 / \(M = 5,\; m = -1\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (5점)	• 교점 존재 범위 \(-1 \le k \le 5\) 수립 +3점 / 정수 \(7\)개 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 사인 앞에 음수 계수 \(-3\)이 곱해져 있어도 최댓값은 \(|-3| + 2 = 5\), 최솟값은 \(-|-3| + 2 = -1\)로 동일합니다.

[문항 6] 다항식의 인수분해를 이용한 영분의 영 꼴 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

두 극한값 \(A = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}\)와 \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 3x + 2}\)에 대하여 다음을 구하시오.

[6-1] (5점) 세제곱 인수분해 공식 \(a^3 \pm b^3\)을 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.

[6-2] (5점) \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(A = 3\) | [6-2] \(B = 3,\; A + B = 6\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) 및 \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) 인수분해 약분 원리를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{4 + 4 + 4}{4} = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{1 + 1 + 1}{1} = 3\)이므로 \(A + B = 6\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• \(x - 2\) 인수 약분 후 \(\dfrac{12}{4}\) 계산 +3점 / \(A = 3\) 도출 +2점
소문항 [6-2] (5점)	• \(x + 1\) 인수 약분으로 \(B = 3\) 산출 +3점 / \(A + B = 6\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 약분형 논술에서는 로피탈의 정리를 쓰지 않고 세제곱 인수분해 공식을 명시하여 공통 인수를 약분하는 과정을 반드시 적어야 합니다.

[문항 7] 무리함수와 유리함수가 결합된 함수의 연속 정의역

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

함수 \(f(x) = \dfrac{\sqrt{10 - 2x}}{x - 2} + \sqrt{x + 3}\)이 연속인 구간에 속하는 모든 정수 \(x\)에 대하여 다음을 구하시오.

[7-1] (5점) 근호 안이 \(0\) 이상일 조건과 분모가 \(0\)이 아닐 조건을 모두 구하여, 함수 \(f(x)\)가 연속인 구간을 기호로 나타내시오.

[7-2] (5점) 함수 \(f(x)\)가 연속인 구간에 속하는 모든 정수 \(x\)의 개수와 그 정수들의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \([-3, 2) \cup (2, 5]\) | [7-2] 개수 \(8\)개, 합 \(7\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 무리함수는 근호 안의 식이 \(0\) 이상인 구간에서 연속이고, 유리함수는 분모가 \(0\)이 아닌 점에서 연속임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5\), \(x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3\)이고 분모 \(x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2\)이므로 연속 구간은 \([-3, 2) \cup (2, 5]\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 구간 내 정수는 \(-3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5\)의 총 \(8\)개이고, 합은 \((-3+3)+(-2+4)+(-1+5)+0+1 = 7\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• \(-3 \le x \le 5\) 및 \(x \ne 2\) 도출 +3점 / 구간 기호 \([-3, 2) \cup (2, 5]\) 표기 +2점
소문항 [7-2] (5점)	• \(x = 2\) 제외한 정수 \(8\)개 산출 +3점 / 합 \(7\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 근호 안이 \(0\)이 되는 양 끝점 \(x = -3\)과 \(x = 5\)는 정의역에 포함되지만, 분모가 \(0\)이 되는 \(x = 2\)는 반드시 제외해야 합니다.

[문항 8] 세 다항식의 곱의 미분법과 접선의 기울기

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

다항함수 \(f(x) = (x - 1)(x - 2)(2x + 1)\)과 \(g(x) = (x^2 + 1)(x - 3)\)에 대하여 다음을 구하시오.

[8-1] (5점) 세 함수의 곱의 미분법 \((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'\)을 이용하여 \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하시오.

[8-2] (5점) 곱의 미분법을 이용하여 \(g'(2)\)의 값을 구하고 \(f'(1) + f'(2) + g'(2)\)를 계산하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(f'(1) = -3,\; f'(2) = 5\) | [8-2] \(g'(2) = 1\), 총합 \(3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \((uv)' = u'v + uv'\) 및 \((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = (x-2)(2x+1) + (x-1)(2x+1) + 2(x-1)(x-2)\)이므로 \(f'(1) = (-1)(3) = -3\), \(f'(2) = (1)(5) = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(g'(x) = 2x(x - 3) + (x^2 + 1)\)이므로 \(g'(2) = 4(-1) + 5 = 1\)이고, 총합은 \(-3 + 5 + 1 = 3\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• 곱의 미분법 전개 +2점 / \(f'(1) = -3,\; f'(2) = 5\) 산출 +3점
소문항 [8-2] (5점)	• \(g'(2) = 1\) 산출 +3점 / 합 \(3\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(x) = (x - a)Q(x)\) 꼴에서 \(x = a\)에서의 미분계수는 전개할 필요 없이 \(f'(a) = Q(a)\)로 즉시 구해집니다.

[문항 9] 삼차함수의 증가·감소 구간과 극점의 위치

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

삼차함수 \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 2\)가 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 증가할 때, 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)의 부호를 조사하여 \(f'(x) \ge 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.

[9-2] (5점) \(\beta - \alpha\)의 최댓값 \(L\)과 그때 \(f(\beta) - f(\alpha)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] \(-1 \le x \le 3\) | [9-2] \(L = 4,\; f(3) - f(-1) = 32\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 구간에서 증가할 조건은 그 구간에서 \(f'(x) \ge 0\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x + 1)(x - 3) \ge 0\)이므로 \(-1 \le x \le 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\alpha \ge -1,\; \beta \le 3\)이므로 \(\beta - \alpha\)의 최댓값은 \(L = 3 - (-1) = 4\)이고, 그때 \(f(3) - f(-1) = 25 - (-7) = 32\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• \(f'(x) = -3(x+1)(x-3) \ge 0\) 인수분해 +3점 / \(-1 \le x \le 3\) 도출 +2점
소문항 [9-2] (5점)	• 최댓값 \(L = 4\) 산출 +2점 / \(f(3) - f(-1) = 25 - (-7) = 32\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 최고차항 계수가 음수(\(-1\))이므로 \(f'(x) \ge 0\)인 구간은 두 근 바깥쪽이 아니라 두 근 사이인 \([-1, 3]\)입니다.

[문항 10] 도함수와 함숫값 조건으로 결정되는 삼차함수

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01]

다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 4x + k\)이고 \(f(0) = 2,\; f(1) = 4\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

[10-1] (5점) 부정적분을 이용하여 \(f(x)\)를 적분상수 \(C\)와 \(k\)로 나타내고, \(C\)와 \(k\)의 값을 각각 구하시오.

[10-2] (5점) \(f(3)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [10-1] \(C = 2,\; k = 3\) | [10-2] \(f(3) = 20\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 부정적분 \(f(x) = \int f'(x)\,dx = x^3 - 2x^2 + kx + C\)에 초기조건을 대입함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(0) = C = 2\)이고, \(f(1) = 1 - 2 + k + 2 = 4\)에서 \(k = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 2\)이므로 \(f(3) = 27 - 18 + 9 + 2 = 20\)이다.

배점 단계	동덕여자대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• 부정적분 작성 및 \(C = 2\) 결정 +2점 / \(f(1) = 4\)로 \(k = 3\) 산출 +3점
소문항 [10-2] (5점)	• 완성된 \(f(x)\)에 \(x = 3\) 대입 +3점 / \(f(3) = 20\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(0)\)의 값은 다항함수 \(f(x)\)의 상수항(적분상수 \(C\))과 바로 일치합니다.