2027학년도 대비 단국대학교 죽전캠퍼스 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 8회 문제집  |  8회 : 베이즈 정리 사후확률과 · 평균값 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 함수 · 포물선의 초점·준선 정 · 벡터를 이용한 공간 평
2027학년도 대비 단국대학교 죽전캠퍼스 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 없음

[대문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch01_미래엔) PDF p.33 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{70},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{70}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 78400\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{78400}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{70},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{70}\)이며, 크기 \(n = 78400\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{70}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 70)\)를 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 78400\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{280} = \dfrac{3}{1750}\)를 유도하시오.
[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{43750}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 201x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 201\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 201 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 201}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 201x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 201(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 204\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{201}\)와 \(g'(204) = \dfrac{1}{204}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((204, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{204}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(204)} = 405\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 426\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 426)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 426)\,dt = 3x^2 - 426x\)이고 \(F''(x) = 6x - 426\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 426)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 426x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 426\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(142) = 1431644\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 71\)에서의 함숫값 \(F(71) = -715822\)과 접선의 기울기 \(F'(71) = -15123\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 276x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(69, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -69\)까지의 거리 \(x_1 + 69\)와 같다.
<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 276x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(276, 276)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 138\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(69, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 276x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(276, 276)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -69\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 345\)의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(276, 276)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-276, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 345\)임을 증명하시오.
[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(345\)와 높이 \(276\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 47610\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(207, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 207, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 207)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 207\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 207)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 207\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{42849}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(207, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 207, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 207)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 207\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 207 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 69\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{42849}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{42849\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 1478290\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
단국대학교 2027 죽전캠퍼스 자연계열 수리논술 대비 · 8회 : 베이즈 정리 사후확률과 · 평균값 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 함수 · 포물선의 초점·준선 정 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본