1) 지수부등식 풀이:
\( 2^x = t > 0 \)로 치환하면 \( t^2 - 7t + 10 \le 0 \iff (t - 2)(t - 5) \le 0 \).
따라서 \( 2 \le 2^x \le 5 \implies 1 \le x \le \log_2 5 \)이다.
2) 수열의 합:
\( \sum_{k=1}^5 a_k = \sum_{k=1}^5 3^{k-5} + 5 \times 5 = 3^{1-5} \frac{3^5 - 1}{3 - 1} + 25 = 121 \times 3^{1-5} + 25 \).

1) \( f'(x) = 3x^2 - 15 \).
\( f(1) = 1 - 15 + 5 = 1 - 10 \), \( f'(1) = 3 - 15 \).
접선: \( y - (1 - 10) = (3 - 15)(x - 1) \implies y = (3 - 15)x + (5 - 2) \).
2) 변곡점: \( f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0 \), \( f(0) = 5 \), \( f'(0) = -15 \).
변곡접선: \( y = -15x + 5 \).

1) 평균값 정리:
\( \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \frac{0 - 0}{5} = 0 \).
\( f'(c) = 3c^2 - 10c = 0 \implies c(3c - 10) = 0 \). \( 0 \lt c \lt 5 \)이므로 \( c = \frac{10}{3} \).
2) 넓이 계산:
구간 \( [0, 5] \)에서 \( f(x) \le 0 \)이므로
\( S = \int_{0}^{5} (-x^3 + 5x^2) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} \right]_0^{5} = -\frac{5^4}{4} + \frac{5^4}{3} = \frac{5^4}{12} \).

1) \( \frac{dx}{dt} = -15\cos^2 t \sin t \), \( \frac{dy}{dt} = 15\sin^2 t \cos t \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{15\sin^2 t \cos t}{-15\cos^2 t \sin t} = -\tan t \). \( t = \frac{\pi}{4} \)일 때 기울기는 \( -1 \).
2) \( L = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_{0}^{\pi/2} 15\sin t \cos t dt = 15\left[ \frac{\sin^2 t}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{15}{2} \).

1) \( J = \frac{5}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \frac{5}{2} [\ln(x^2 + 1)]_0^1 = \frac{5}{2}\ln 2 \).
2) \( K \)는 부분적분을 2회 적용:
\( I = \int e^x \sin x dx = e^x \sin x - e^x \cos x - I \implies I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} \).
\( K = 5\left[ \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} \right]_0^{\pi/2} = 5\left( \frac{e^{\pi/2}(1 - 0)}{2} - \frac{1(0 - 1)}{2} \right) = \frac{5(e^{\pi/2} + 1)}{2} \).

1) 초점 사이의 거리:
\( c = \sqrt{49 - 25} = \sqrt{24} \).
두 초점 사이의 거리는 \( 2c = 2\sqrt{24} \).
2) 타원의 넓이 및 정사영 넓이:
타원의 넓이 \( S = \pi a b = \pi (7)(5) = 35\pi \).
정사영 넓이 \( S' = S \cos\frac{\pi}{3} = 35\pi \times \frac{1}{2} = \frac{35\pi}{2} \).