2027학년도 단국대학교 자연계열 수리논술 모의고사 2회 수학해설집

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【문항 1-1】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]

【문제 해결 및 논술 과정】

1) 지수부등식 풀이:
\( 2^x = t > 0 \)로 치환하면 \( t^2 - 4t + 4 \le 0 \iff (t - 2)(t - 2) \le 0 \).
따라서 \( 2 \le 2^x \le 2 \implies 1 \le x \le \log_2 2 \)이다.
2) 수열의 합:
\( \sum_{k=1}^5 a_k = \sum_{k=1}^5 3^{k-2} + 5 \times 2 = 3^{1-2} \frac{3^5 - 1}{3 - 1} + 10 = 121 \times 3^{1-2} + 10 \).

정답: 정수 해 및 수열 합 계산 완료

【【문항 1-1】 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 부분점수)】

단계별 평가 요소 및 해결 과정	배점
지수부등식을 2차부등식으로 치환하여 해의 범위를 구한 경우	7.0점
등비수열의 합 공식을 적용하여 계산을 완결한 경우	8.0점

【문항 1-2】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]

【문제 해결 및 논술 과정】

1) \( f'(x) = 3x^2 - 6 \).
\( f(1) = 1 - 6 + 2 = 1 - 4 \), \( f'(1) = 3 - 6 \).
접선: \( y - (1 - 4) = (3 - 6)(x - 1) \implies y = (3 - 6)x + (2 - 2) \).
2) 변곡점: \( f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0 \), \( f(0) = 2 \), \( f'(0) = -6 \).
변곡접선: \( y = -6x + 2 \).

정답: 접선 \( y = (3 - 6)x + (2 - 2) \), 변곡접선 \( y = -6x + 2 \)

【【문항 1-2】 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 부분점수)】

단계별 평가 요소 및 해결 과정	배점
도함수를 구해 (1, f(1))에서의 접선의 방정식을 구한 경우	7.0점
이계도함수를 구해 변곡접선의 방정식을 구한 경우	8.0점

【문항 1-3】 모범답안 및 상세 풀이 [20.0점]

【문제 해결 및 논술 과정】

1) 평균값 정리:
\( \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{0 - 0}{2} = 0 \).
\( f'(c) = 3c^2 - 4c = 0 \implies c(3c - 4) = 0 \). \( 0 \lt c \lt 2 \)이므로 \( c = \frac{4}{3} \).
2) 넓이 계산:
구간 \( [0, 2] \)에서 \( f(x) \le 0 \)이므로
\( S = \int_{0}^{2} (-x^3 + 2x^2) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^{2} = -\frac{2^4}{4} + \frac{2^4}{3} = \frac{2^4}{12} \).

정답: \( c = \frac{4}{3} \), 넓이 \( S = \frac{2^4}{12} \)

【【문항 1-3】 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 부분점수)】

단계별 평가 요소 및 해결 과정	배점
평균값 정리를 적용하여 c의 값을 도출한 경우	10.0점
정적분 식을 세워 넓이 S를 구한 경우	10.0점

【문항 2-1】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]

【문제 해결 및 논술 과정】

1) \( \frac{dx}{dt} = -6\cos^2 t \sin t \), \( \frac{dy}{dt} = 6\sin^2 t \cos t \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{6\sin^2 t \cos t}{-6\cos^2 t \sin t} = -\tan t \). \( t = \frac{\pi}{4} \)일 때 기울기는 \( -1 \).
2) \( L = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_{0}^{\pi/2} 6\sin t \cos t dt = 6\left[ \frac{\sin^2 t}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{6}{2} \).

정답: 기울기 \( -1 \), 곡선의 길이 \( L = \frac{6}{2} \)

【【문항 2-1】 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 부분점수)】

단계별 평가 요소 및 해결 과정	배점
매개변수 미분법으로 기울기 -1을 도출한 경우	7.0점
곡선의 길이 적분식을 수립하고 길이를 계산한 경우	8.0점

【문항 2-2】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]

【문제 해결 및 논술 과정】

1) \( J = \frac{2}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \frac{2}{2} [\ln(x^2 + 1)]_0^1 = \frac{2}{2}\ln 2 \).
2) \( K \)는 부분적분을 2회 적용:
\( I = \int e^x \sin x dx = e^x \sin x - e^x \cos x - I \implies I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} \).
\( K = 2\left[ \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} \right]_0^{\pi/2} = 2\left( \frac{e^{\pi/2}(1 - 0)}{2} - \frac{1(0 - 1)}{2} \right) = \frac{2(e^{\pi/2} + 1)}{2} \).

정답: \( J = \frac{2\ln 2}{2} \), \( K = \frac{2(e^{\pi/2} + 1)}{2} \)

【【문항 2-2】 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 부분점수)】

단계별 평가 요소 및 해결 과정	배점
치환적분으로 J의 값을 정확히 계산한 경우	7.0점
부분적분 2회 적용으로 K의 값을 정확히 계산한 경우	8.0점

【문항 2-3】 모범답안 및 상세 풀이 [20.0점]

【문제 해결 및 논술 과정】

1) 초점 사이의 거리:
\( c = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} \).
두 초점 사이의 거리는 \( 2c = 2\sqrt{12} \).
2) 타원의 넓이 및 정사영 넓이:
타원의 넓이 \( S = \pi a b = \pi (4)(2) = 8\pi \).
정사영 넓이 \( S' = S \cos\frac{\pi}{3} = 8\pi \times \frac{1}{2} = \frac{8\pi}{2} \).

정답: 초점 거리 \( 2\sqrt{12} \), 정사영 넓이 \( \frac{8\pi}{2} \)

【【문항 2-3】 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 부분점수)】

단계별 평가 요소 및 해결 과정	배점
타원의 초점 좌표와 초점 사이 거리를 구한 경우	10.0점
타원의 넓이 공식과 정사영 코사인을 적용하여 S'을 완결한 경우	10.0점