【문항 1-1】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
수열 \( a_n = 3^{n-2} + 2 \)과 부등식 \( 2^{2x} - 4 \cdot 2^x + 4 \le 0 \)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 부등식을 만족하는 정수 \( x \)의 개수를 구하시오. [7.0점]
(2) 수열의 첫째항부터 제5항까지의 합 \( \sum_{k=1}^5 a_k \)를 구하시오. [8.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 1-2】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
함수 \( f(x) = x^3 - 6x + 2 \)에 대하여 곡선 \( y = f(x) \) 위의 점 \( (1, f(1)) \)에서의 접선의 방정식과 변곡점에서의 접선의 방정식을 각각 구하시오. [15.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 1-3】 제시문 및 문항 발문 [20.0점]
닫힌구간 \( [0, 2] \)에서 함수 \( f(x) = x^3 - 2x^2 \)에 대하여 평균값 정리를 만족하는 상수 \( c \)의 값을 구하고, 곡선 \( y = f(x) \)와 \( x \)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [20.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 2-1】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
매개변수 \( t \)로 나타낸 곡선 \( x = 2\cos^3 t \), \( y = 2\sin^3 t \) (\( 0 \le t \le \frac{\pi}{2} \))에 대하여 다음을 구하시오.
(1) \( t = \frac{\pi}{4} \)에서의 접선의 기울기 \( \frac{dy}{dx} \) [7.0점]
(2) 이 곡선의 길이 \( L \) [8.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 2-2】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
정적분 \( J = \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2 + 1} dx \)와 \( K = \int_{0}^{\pi/2} 2e^x \sin x dx \)의 값을 각각 계산하시오. [15.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 2-3】 제시문 및 문항 발문 [20.0점]
타원 \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \)의 두 초점 사이의 거리와, 평면 \( \alpha \) 위에 있는 이 타원을 평면 \( \beta \) 위로 정사영시킨 도형의 넓이를 구하시오. (단, 두 평면이 이루는 이면각의 크기는 \( \frac{\pi}{3} \)이다.) [20.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.