1) 일반항 \( a_n \) 도출:
주어진 점화식의 양변에 역수를 취하면 \[ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1 + 2a_n}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 2 \] 수열 \( \left\{\frac{1}{a_n}\right\} \)은 첫째항이 \( \frac{1}{a_1} = \frac{1}{2} \)이고 공차가 \( 2 \)인 등차수열이다. \[ \frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + 2(n-1) = 2n - \frac{3}{2} = \frac{4n-3}{2} \implies a_n = \frac{2}{4n-3} \] 2) 무한급수의 합 계산:
점화식 \( \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 2 \)의 양변에 \( a_n a_{n+1} \)을 곱하면 \( a_n - a_{n+1} = 2a_n a_{n+1} \)이므로 \[ a_n a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n - a_{n+1}) \] 부분합 \( S_N = \sum_{n=1}^N a_n a_{n+1} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^N (a_n - a_{n+1}) = \frac{1}{2}(a_1 - a_{N+1}) \)이다.
\( \lim_{N \to \infty} a_{N+1} = \lim_{N \to \infty} \frac{2}{4N+1} = 0 \)이므로 \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_1 - 0) = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \]

1) \( f(x) \)의 삼각함수 합성 및 최댓값:
\( f(x) = 3\sin x + 4\cos x = 5\left(\frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x\right) = 5\sin(x + \alpha) \) (단, \( \cos\alpha = \frac{3}{5}, \sin\alpha = \frac{4}{5} \)).
\( 0 \le x \le \pi \)에서 \( \alpha \le x + \alpha \le \pi + \alpha \)이므로 \( x + \alpha = \frac{\pi}{2} \)일 때 최댓값 \( 5 \)를 갖는다.
이때 \( x = \frac{\pi}{2} - \alpha \)이므로 \[ \tan x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} \] 2) \( g(x) \)의 정리 및 최솟값:
삼각함수의 덧셈정리를 적용하면 \[ \begin{aligned} g(x) &= \left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) + \left(\cos x \cos\frac{\pi}{6} - \sin x \sin\frac{\pi}{6}\right) \\ &= \left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\cos x \end{aligned} \] \( 0 \le x \le \pi \)에서 \( \cos x \)는 단조감소하므로 \( x = \pi \)일 때 최솟값 \( \sqrt{3}\cos\pi = -\sqrt{3} \)을 갖는다.

1) 도함수 및 극값 분석:
\( f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1) \).
\( f'(x) = 0 \iff x = -1, 0, 1 \).
- \( x = 0 \)에서 극댓값 \( f(0) = k \)
- \( x = \pm 1 \)에서 극솟값 \( f(\pm 1) = 1 - 2 + k = k - 1 \).
따라서 두 극솟점은 \( A(-1, k-1) \), \( B(1, k-1) \)이다.
2) 직선 \( l \) 및 둘러싸인 넓이 \( S \) 계산:
두 점 \( A(-1, k-1) \), \( B(1, k-1) \)의 \( y \)좌표가 동일하므로 직선 \( l \)의 방정식은 \( y = k - 1 \)이다.
곡선 \( y = f(x) \)와 직선 \( y = k - 1 \)의 교점의 \( x \)좌표는 \[ x^4 - 2x^2 + k = k - 1 \iff x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \iff (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x = \pm 1 \text{ (중근)} \] 구간 \( [-1, 1] \)에서 \( f(x) \ge k - 1 \)이므로 둘러싸인 넓이 \( S \)는 우함수 대칭성에 의해 \[ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^{1} \{f(x) - (k - 1)\} dx = 2\int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx \\ &= 2\left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = 2\left(\frac{3 - 10 + 15}{15}\right) = 2 \times \frac{8}{15} = \frac{16}{15} \end{aligned} \]

1) 음함수 미분법 적용:
주어진 방정식 \( x^3 + y^3 - 3xy = 0 \)의 양변을 \( x \)에 대하여 미분하면 \[ 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 0 \implies (y^2 - x)\frac{dy}{dx} = y - x^2 \] 따라서 \( \frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x} \)이다.
점 \( P\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) \)에서의 미분계수는 \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_P = \frac{\frac{3}{2} - \frac{9}{4}}{\frac{9}{4} - \frac{3}{2}} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = -1 \] 2) 접선의 방정식 및 삼각형의 넓이:
기울기가 \( -1 \)이고 점 \( P\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) \)를 지나는 접선의 방정식은 \[ y - \frac{3}{2} = -1\left(x - \frac{3}{2}\right) \implies y = -x + 3 \iff x + y = 3 \] 이 직선의 \( x \)절편은 \( (3, 0) \), \( y \)절편은 \( (0, 3) \)이다.
따라서 직선과 좌표축으로 둘러싸인 직각이등변삼각형의 넓이 \( A \)는 \[ A = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} \]

1) 부분적분법을 통한 점화식 유도:
\( u(x) = x^n \), \( v'(x) = e^{-x} \)로 놓으면 \( u'(x) = n x^{n-1} \), \( v(x) = -e^{-x} \)이다.
부분적분법에 의해 \[ \begin{aligned} I_n &= \left[ -x^n e^{-x} \right]_0^1 - \int_{0}^{1} n x^{n-1} (-e^{-x}) dx \\ &= (-e^{-1} - 0) + n \int_{0}^{1} x^{n-1} e^{-x} dx = -\frac{1}{e} + n I_{n-1} \end{aligned} \] 따라서 점화식은 \( I_n = n I_{n-1} - \frac{1}{e} \)이다.
2) \( I_0 \) 및 \( I_3 \) 계산:
\( I_0 = \int_{0}^{1} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^1 = -e^{-1} - (-1) = 1 - \frac{1}{e} \).
점화식을 순차 적용하면: - \( I_1 = 1 \cdot I_0 - \frac{1}{e} = \left(1 - \frac{1}{e}\right) - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e} \) - \( I_2 = 2 I_1 - \frac{1}{e} = 2\left(1 - \frac{2}{e}\right) - \frac{1}{e} = 2 - \frac{4}{e} - \frac{1}{e} = 2 - \frac{5}{e} \) - \( I_3 = 3 I_2 - \frac{1}{e} = 3\left(2 - \frac{5}{e}\right) - \frac{1}{e} = 6 - \frac{15}{e} - \frac{1}{e} = 6 - \frac{16}{e} \)

1) 교점 및 넓이 \( S \) 계산:
\( 4x - x^2 = x \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \implies x = 0, 3 \).
두 교점은 \( (0, 0) \)과 \( (3, 3) \)이다.
구간 \( [0, 3] \)에서 \( 4x - x^2 \ge x \)이므로 도형 \( D \)의 넓이 \( S \)는 \[ S = \int_{0}^{3} \{(4x - x^2) - x\} dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2} \] 2) \( x \)축 회전체의 부피 \( V \) 계산:
원판법(Disk Method)에 의해 회전체의 부피는 외경의 제곱 적분에서 내경의 제곱 적분을 뺀 값이다. \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{3} \left\{ (4x - x^2)^2 - x^2 \right\} dx \\ &= \pi \int_{0}^{3} (16x^2 - 8x^3 + x^4 - x^2) dx = \pi \int_{0}^{3} (x^4 - 8x^3 + 15x^2) dx \\ &= \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 2x^4 + 5x^3 \right]_0^3 = \pi \left( \frac{243}{5} - 2(81) + 5(27) \right) \\ &= \pi \left( \frac{243}{5} - 162 + 135 \right) = \pi \left( \frac{243}{5} - 27 \right) = \pi \left( \frac{243 - 135}{5} \right) = \frac{108\pi}{5} \end{aligned} \]