【문항 1-1】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
수열 \( \{a_n\} \)이 \( a_1 = 2 \)이고 모든 자연수 \( n \)에 대하여 다음 점화식을 만족한다.
\[
a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 2a_n}
\]
(1) 일반항 \( a_n \)을 구하시오. [7.0점]
(2) 무한급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1} \)의 합을 구하시오. [8.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 1-2】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
닫힌구간 \( [0, \pi] \)에서 정의된 함수 \( f(x) = 3\sin x + 4\cos x \)와 \( g(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
\[
(\text{단, } \sin\alpha = \frac{4}{5}, \cos\alpha = \frac{3}{5}\text{인 예각 }\alpha\text{를 활용하시오.})
\]
(1) 함수 \( f(x) \)의 최댓값과 그때의 \( \tan x \)의 값을 구하시오. [7.0점]
(2) 함수 \( g(x) \)를 \( A\sin(x + \theta) \) 꼴로 합성하고, 구간 \( [0, \pi] \)에서의 최솟값을 구하시오. [8.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 1-3】 제시문 및 문항 발문 [20.0점]
최고차항의 계수가 1인 4차 함수 \( f(x) = x^4 - 2x^2 + k \)에 대하여 곡선 \( y = f(x) \) 위의 서로 다른 두 극솟점을 \( A, B \)라 하자.
\[
(\text{단, } k\text{는 실수이다.})
\]
(1) 함수 \( f(x) \)의 극댓값과 두 극솟값 및 두 점 \( A, B \)의 좌표를 \( k \)에 관한 식으로 나타내시오. [8.0점]
(2) 두 점 \( A, B \)를 지나는 직선 \( l \)의 방정식을 구하고, 곡선 \( y = f(x) \)와 직선 \( l \)로 둘러싸인 도형의 넓이 \( S \)를 구하시오. [12.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 2-1】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
곡선 \( x^3 + y^3 - 3xy = 0 \) (데카르트의 엽상선) 위의 점 \( P\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) \)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
\[
(\text{단, } x > 0, y > 0\text{인 제1사분면의 영역이다.})
\]
(1) 점 \( P \)에서의 접선의 기울기 \( \frac{dy}{dx} \)를 음함수 미분법으로 구하시오. [7.0점]
(2) 점 \( P \)에서의 접선의 방정식을 구하고, 이 접선과 \( x \)축 및 \( y \)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. [8.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 2-2】 제시문 및 문항 발문 [15.0점]
자연수 \( n \)에 대하여 정적분 \( I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx \)라 정의할 때 다음 물음에 답하시오.
(1) 부분적분법을 이용하여 \( I_{n} \)과 \( I_{n-1} \) 사이의 관계식(점화식)을 유도하시오. (단, \( n \ge 1 \)) [7.0점]
(2) \( I_0 \)의 값을 구하고, 이를 이용하여 \( I_3 = \int_{0}^{1} x^3 e^{-x} dx \)의 값을 계산하시오. [8.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.
【문항 2-3】 제시문 및 문항 발문 [20.0점]
포물선 \( y = 4x - x^2 \)과 직선 \( y = x \)로 둘러싸인 도형 \( D \)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 포물선과 직선의 두 교점의 좌표를 구하고, 도형 \( D \)의 넓이 \( S \)를 정적분으로 계산하시오. [8.0점]
(2) 도형 \( D \)를 \( x \)축을 둘레로 1회전하여 생기는 회전체의 부피 \( V \)를 구하시오. [12.0점]
[답안 작성 유의사항]
• 풀이 과정에 필요한 수학적 개념, 정리 및 연산 과정을 논리적으로 서술하시오.
• 최종 도출된 답안을 명확히 표기하시오.