[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 24 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
[제시문 (가)] 함수 $y = a^x$ ($a > 1$)의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 함수의 역함수는 $y = \log_a(x - q) + p$이다.
[제시문 (나)] 곡선 $C_1 : y = 2^x$와 곡선 $C_2 : y = \log_2 x$가 직선 $L : x + y = 6$과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하고, 직선 $x + y = 3$과 만나는 점을 각각 $C, D$라 하자.
[문항 1-1] (8점) 직선 $y = x$가 두 직선 $x + y = 3$, $x + y = 6$과 만나는 교점 $M_1, M_2$의 좌표와 선분 $M_1 M_2$의 길이를 구하시오.
[문항 1-2] (8점) 점 $C$와 점 $D$의 좌표를 각각 구하고, 선분 $CD$의 길이를 구하시오.
[문항 1-3] (9점) 곡선 $y = 2^x$와 곡선 $y = 2^{x-2} + 2$, 그리고 두 직선 $y = x$, $y = x + 2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 평행이동을 이용하여 구하시오.
[1-1 풀이] 연립하면 $M_1\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$, $M_2(3, 3)$이므로 $\overline{M_1 M_2} = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$이다.
[1-2 풀이] $2^x + x = 3$에서 좌변은 증가함수이므로 유일한 해는 $x = 1$이다. 따라서 $C(1, 2)$이고 직선 $y = x$ 대칭에 의하여 $D(2, 1)$이며, $\overline{CD} = \sqrt{2}$이다.
[1-3 풀이] 곡선 $y = 2^x$를 $x$축 방향으로 $2$, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동하면 곡선 $y = 2^{x-2} + 2$가 되고, 평행이동 벡터 $(2, 2)$는 기울기가 $1$인 두 직선 $y = x$, $y = x + 2$와 평행하다. 따라서 등적변형에 의하여 구하는 도형의 넓이는 밑변의 길이 $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$와 두 직선 사이의 거리 $\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$의 곱인 $2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [1-1] | [1-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [1-2] | [1-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [1-3] | [1-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (1-1) $M_1(3/2, 3/2), M_2(3, 3), \; \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ / (1-2) $C(1, 2), D(2, 1), \; \sqrt{2}$ / (1-3) 넓이 $4$