[1-1 풀이] $t = \log_2 x$라 하면 $(t - 3)(t - k) = 0$이므로 $k$에 관계없이 항상 $t = 3 \implies x = 8$을 근으로 갖는다. $\alpha\beta = 2^{3 + k} = 32 = 2^5$에서 $k = 2$이고, 따라서 $\alpha = 4, \; \beta = 8$이다.

[1-2 풀이] $\log_3(pq) = 4 \implies pq = 81$이다. 산술·기하평균 부등식에 의하여 $p + 9q \ge 2\sqrt{9pq} = 6\sqrt{81} = 54$이며, 등호는 $p = 9q$이고 $pq = 81$인 $p = 27, \; q = 3$일 때 성립한다.

[1-3 풀이] 진수 조건에서 $2 < x < 8$이다. $\log_{1/2}\{(x - 2)(8 - x)\} \ge \log_{1/2} 8 \iff (x - 2)(8 - x) \le 8 \iff x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6) \ge 0$이다. 진수 조건과 결합하면 $2 < x \le 4$ 또는 $6 \le x < 8$이므로 정수 $x$는 $3, 4, 6, 7$이고 합은 $20$이다.

[2-1 풀이] $f(-x) = -f(x)$이므로 $f(x) = x^3 + ax$이다. $x \to 2$일 때 분모가 $0$으로 가고 극한값이 존재하므로 $f(2) = 8 + 2a = 2 \implies a = -3$이다. 따라서 $f(x) = x^3 - 3x$이다.

[2-2 풀이] 주어진 극한은 $4f'(2)$와 같다. $f'(x) = 3x^2 - 3$에서 $f'(2) = 9$이므로 구하는 극한값은 $4 \times 9 = 36$이다.

[2-3 풀이] $x^3 - 3x = x \iff x(x^2 - 4) = 0$에서 교점은 $x = -2, 0, 2$이다. 원점 대칭성에 의하여 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^2 = 2(8 - 4) = 8$이다.

[3-1 풀이] $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x + 1)(x - 2) = 0$이다. 따라서 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 12$를 갖고, $x = -1$에서 극솟값 $f(-1) = 3 + 4 - 12 + 12 = 7$, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 48 - 32 - 48 + 12 = -20$을 갖는다.

[3-2 풀이] 서로 다른 네 실근을 가지려면 큰 극솟값과 극댓값 사이에 $k$가 있어야 하므로 $7 < k < 12$이다. 따라서 정수 $k$는 $8, 9, 10, 11$로 총 $4$개이다.

[3-3 풀이] 함수 $y = |f(x)|$의 그래프에서 극점의 함수값 크기는 $|-20| = 20, \; |12| = 12, \; |7| = 7$이다. 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $6$개의 점에서 만나려면 $f(x) = k$에서 $4$개의 실근, $f(x) = -k$에서 $2$개의 실근을 가져야 하므로 $7 < k < 12$이다.

[4-1 풀이] $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$이고 $g'(x) = f(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이므로 $x = 1$에서 극댓값 $g(1) = 4$, $x = 3$에서 극솟값 $g(3) = 0$을 갖는다.

[4-2 풀이] $g(0) = 0, \; g(1) = 4, \; g(3) = 0, \; g(4) = 64 - 96 + 36 = 4$이므로 닫힌구간 $[0, 4]$에서 최댓값은 $4$, 최솟값은 $0$이다.

[4-3 풀이] $x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = (x - 1)^2(x - 4) = 0$이므로 곡선 $y = g(x)$와 직선 $y = 4$는 $x = 1$에서 접하고 $x = 4$에서 만난다. 따라서 둘러싸인 넓이는 $S = \dfrac{1}{12}(4 - 1)^4 = \dfrac{27}{4}$이다.