[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 24 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
[제시문 (가)] 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$이고 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \dfrac{n(2a + (n-1)d)}{2}$이다.
[제시문 (나)] 등차수열 $\{a_n\}$이 $a_3 = 7, \; a_7 = -1$을 만족시키고, 등비수열 $\{b_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 $b_n = 2^{a_n}$으로 정의된다.
[문항 1-1] (8점) 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하고, 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되는 자연수 $n$과 최댓값을 구하시오.
[문항 1-2] (8점) 수열 $\{|a_n|\}$의 첫째항부터 제$12$항까지의 합 $\sum_{k=1}^{12} |a_k|$의 값을 구하시오.
[문항 1-3] (9점) 등비수열 $\{b_n\}$의 첫째항 $b_1$과 공비 $r$를 구하고, $\sum_{k=1}^{8} b_k$의 값을 구하시오.
[1-1 풀이] $a_7 - a_3 = 4d = -8 \implies d = -2$이고 $a_1 = 7 - 2(-2) = 11$이므로 $a_n = -2n + 13$이다. $a_6 = 1 > 0, \; a_7 = -1 < 0$이므로 $n = 6$일 때 합이 최대이며 최댓값은 $S_6 = \dfrac{6(11 + 1)}{2} = 36$이다.
[1-2 풀이] $1 \le k \le 6$에서 $a_k > 0$이고 $7 \le k \le 12$에서 $a_k < 0$이다. 따라서 $\sum_{k=1}^{12} |a_k| = S_6 - (S_{12} - S_6) = 2S_6 - S_{12} = 72 - 0 = 72$이다.
[1-3 풀이] $b_n = 2^{-2n + 13}$이므로 첫째항은 $b_1 = 2^{11} = 2048$, 공비는 $r = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$이다. 따라서 $\sum_{k=1}^{8} b_k = \dfrac{2048(1 - (1/4)^8)}{1 - 1/4} = \dfrac{8192}{3}\left(1 - \dfrac{1}{65536}\right) = \dfrac{21845}{8}$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [1-1] | [1-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [1-2] | [1-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [1-3] | [1-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (1-1) $a_n = -2n + 13, \; n=6$, 최댓값 $36$ / (1-2) $72$ / (1-3) $b_1 = 2048, \; r = \dfrac{1}{4}, \; \dfrac{21845}{8}$
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 24 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
[제시문 (가)] 자연수 $k$에 대하여 $\dfrac{1}{A \cdot B} = \dfrac{1}{B - A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)$ ($A \ne B$)를 이용하면 망원급수의 부분합을 구할 수 있다.
[제시문 (나)] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = 2n + 2$를 만족시킨다.
[문항 2-1] (8점) 축차대입법을 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하고 인수분해하시오.
[문항 2-2] (8점) 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}$을 $n$에 대한 기약분수 식으로 나타내시오.
[문항 2-3] (9점) 부등식 $S_n > \dfrac{19}{20}$를 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.
[2-1 풀이] $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2(k + 1) = 2 + (n - 1)(n + 2) = n^2 + n = n(n + 1)$이며, $n = 1$을 대입해도 $a_1 = 2$로 성립한다.
[2-2 풀이] $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$이다.
[2-3 풀이] $\dfrac{n}{n+1} > \dfrac{19}{20} \iff 20n > 19n + 19 \iff n > 19$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $20$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [2-1] | [2-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [2-2] | [2-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [2-3] | [2-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (2-1) $a_n = n(n + 1)$ / (2-2) $S_n = \dfrac{n}{n + 1}$ / (2-3) 최솟값 $20$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 24 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
[제시문 (가)] 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이고 좌미분계수와 우미분계수가 존재하며 서로 같을 때 $f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다.
[제시문 (나)] 실수 전체에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x < 2) \\ -x^3 + 6x^2 - 9x + 6 & (x \ge 2) \end{cases}$이 $x = 2$에서 미분가능하다.
[문항 3-1] (8점) 상수 $a, b$의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[문항 3-2] (8점) $x \ge 0$에서 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오.
[문항 3-3] (9점) 정적분 $\int_0^3 f(x)\,dx$의 값을 구하시오.
[3-1 풀이] $x = 2$에서의 우극한은 $-8 + 24 - 18 + 6 = 4$이고 우미분계수는 $-3(4) + 12(2) - 9 = 3$이다. 좌미분계수 $4 + a = 3$에서 $a = -1$이고, 연속 조건 $4 + 2(-1) + b = 4$에서 $b = 2$이다.
[3-2 풀이] $0 \le x < 2$에서 $f(x) = x^2 - x + 2 = (x - 1/2)^2 + 7/4$이므로 $x = \dfrac{1}{2}$에서 극솟값 $\dfrac{7}{4}$을 갖는다. $x \ge 2$에서 $f'(x) = -3(x - 1)(x - 3) = 0$이므로 $x = 3$에서 극댓값 $f(3) = -27 + 54 - 27 + 6 = 6$을 갖는다.
[3-3 풀이] $\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^2 (x^2 - x + 2)\,dx + \int_2^3 (-x^3 + 6x^2 - 9x + 6)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 2x\right]_0^2 + \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 6x\right]_2^3 = \dfrac{14}{3} + \dfrac{21}{4} = \dfrac{119}{12}$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [3-1] | [3-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [3-2] | [3-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [3-3] | [3-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (3-1) $a = -1, \; b = 2$ / (3-2) 극솟값 $\dfrac{7}{4}$, 극댓값 $6$ / (3-3) $\dfrac{119}{12}$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 24 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
[제시문 (가)] 삼차방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$에 대하여 $m < k < M$인 것이다.
[제시문 (나)] 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$와 실수 $k$를 생각한다.
[문항 4-1] (8점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c \in (0, 3)$의 값을 모두 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
[문항 4-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$의 변곡점에서의 접선과 곡선 $y = f(x)$ 및 직선 $x = 0$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
[4-1 풀이] $f(0) = 0, \; f(3) = 54 - 81 + 36 = 9$이므로 평균변화율은 $\dfrac{9 - 0}{3 - 0} = 3$이다. $f'(c) = 6c^2 - 18c + 12 = 3 \iff 2c^2 - 6c + 3 = 0$에서 $c = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$ (모두 $(0, 3)$에 속함)이다.
[4-2 풀이] $f'(x) = 6(x - 1)(x - 2) = 0$에서 극댓값은 $f(1) = 5$, 극솟값은 $f(2) = 4$이다. 따라서 $4 < k < 5$를 만족하는 정수 $k$는 존재하지 않으므로 $0$개이다.
[4-3 풀이] 변곡점의 $x$좌표는 $\dfrac{1+2}{2} = \dfrac{3}{2}$이고 $f(3/2) = \dfrac{9}{2}$, 기울기는 $f'(3/2) = -\dfrac{3}{2}$이므로 접선은 $y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{27}{4}$이다. 구하는 넓이는 $\int_0^{3/2} \left\{\left(-\dfrac{3}{2}x + \dfrac{27}{4}\right) - (2x^3 - 9x^2 + 12x)\right\}dx = \int_0^{3/2} 2\left(\dfrac{3}{2} - x\right)^3 dx = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{81}{32}$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [4-1] | [4-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [4-2] | [4-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [4-3] | [4-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (4-1) $c = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$ / (4-2) $0$개 / (4-3) $\dfrac{81}{32}$