[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 24 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
[제시문 (가)] 양수 $x$에 대하여 상용로그 $\log_{10} x = n + \alpha$ (단, $n$은 정수, $0 \le \alpha < 1$)로 나타낼 때 $n$을 정수 부분, $\alpha$를 소수 부분이라 한다.
[제시문 (나)] $10 < x < 1000$인 실수 $x$에 대하여 $\log_{10} x^2$의 소수 부분과 $\log_{10} \sqrt{x}$의 소수 부분이 서로 같다.
[문항 1-1] (8점) 제시문 (나)의 조건을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값을 구하고 그 곱을 구하시오.
[문항 1-2] (8점) 두 양수 $a, b$가 $a^3 = 4, \; b^5 = 8$을 만족시킬 때, $\log_2 (a^2 b^3)$의 값을 기약분수로 구하시오.
[문항 1-3] (9점) 자연수 $m$ ($1 \le m \le 50$)에 대하여 $\sqrt[3]{2^m}$이 자연수가 되도록 하는 모든 $m$의 값의 합을 구하시오.
[1-1 풀이] $1 < \log_{10} x < 3$이고 두 상용로그의 소수 부분이 같으므로 차 $\log_{10} x^2 - \log_{10} \sqrt{x} = \dfrac{3}{2}\log_{10} x$는 정수이다. $\dfrac{3}{2} < \dfrac{3}{2}\log_{10} x < \dfrac{9}{2}$에서 $\dfrac{3}{2}\log_{10} x \in \{2, 3, 4\}$이므로 $\log_{10} x = \dfrac{4}{3}, \; 2, \; \dfrac{8}{3}$이다. 따라서 $x = 10^{4/3}, \; 10^2, \; 10^{8/3}$이고 곱은 $10^6$이다.
[1-2 풀이] $a = 2^{2/3}, \; b = 2^{3/5}$이므로 $a^2 b^3 = 2^{4/3} \cdot 2^{9/5} = 2^{47/15}$이다. 따라서 $\log_2(a^2 b^3) = \dfrac{47}{15}$이다.
[1-3 풀이] $\sqrt[3]{2^m} = 2^{m/3}$이 자연수가 되려면 $m$은 $3$의 배수여야 한다. $1 \le m \le 50$에서 $m = 3k$ ($k = 1, 2, \dots, 16$)이므로 합은 $3 \times \dfrac{16 \times 17}{2} = 408$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [1-1] | [1-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [1-2] | [1-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [1-3] | [1-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (1-1) $x = 10^{4/3}, 10^2, 10^{8/3}$, 곱 $10^6$ / (1-2) $\dfrac{47}{15}$ / (1-3) $408$
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 24 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
[제시문 (가)] 함수 $y = A\sin(Bx + C) + D$ ($A > 0, B > 0$)의 주기는 $\dfrac{2\pi}{B}$이고, 최댓값은 $A + D$, 최솟값은 $-A + D$이다.
[제시문 (나)] 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 정의된 맥파 변위 함수 $f(x) = 2\cos^2 x + 3\sin x - 1$을 생각한다.
[문항 2-1] (8점) $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하여 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (8점) 방정식 $f(x) = 2$를 만족시키는 모든 실근 $x \in [0, 2\pi]$를 구하고 그 합을 구하시오.
[문항 2-3] (9점) 부등식 $f(x) \ge 1$을 만족시키는 $x \in [0, 2\pi]$의 범위를 구하고, 그 구간의 길이를 구하시오.
[2-1 풀이] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2$을 대입하면 $g(t) = -2t^2 + 3t + 1 = -2\left(t - \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{17}{8}$ ($-1 \le t \le 1$)이다. 따라서 $t = \dfrac{3}{4}$일 때 최댓값 $\dfrac{17}{8}$, $t = -1$일 때 최솟값 $-4$를 갖는다.
[2-2 풀이] $-2t^2 + 3t + 1 = 2 \iff 2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$이므로 $\sin x = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\sin x = 1$이다. 구간 $[0, 2\pi]$에서 해는 $x = \dfrac{\pi}{6}, \; \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{5\pi}{6}$이고 합은 $\dfrac{3\pi}{2}$이다.
[2-3 풀이] $-2t^2 + 3t + 1 \ge 1 \iff t(2t - 3) \le 0 \iff 0 \le \sin x \le 1$ (단, $-1 \le t \le 1$)이다. 따라서 $0 \le x \le \pi$이고 구간의 길이는 $\pi$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [2-1] | [2-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [2-2] | [2-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [2-3] | [2-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (2-1) 최댓값 $\dfrac{17}{8}$, 최솟값 $-4$ / (2-2) $x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}$, 합 $\dfrac{3\pi}{2}$ / (2-3) $0 \le x \le \pi$, 길이 $\pi$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 24 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L$ (유한확정)이고 $\lim_{x \to a} g(x) = 0$이면 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$이다.
[제시문 (나)] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2 + 1} = -2$와 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4$를 동시에 만족시킨다.
[문항 3-1] (8점) 제시문 (나)의 두 극한 조건을 이용하여 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하시오.
[문항 3-2] (8점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선이 곡선 $y = f(x)$와 다시 만나는 점 $Q$의 좌표를 구하시오.
[문항 3-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$와 문항 3-2의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[3-1 풀이] 첫째 조건에서 $f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$이다. 둘째 조건에서 $f(1) = 0 \implies b = 1 - a$이고 $f'(1) = 3 - 4 + a = 4 \implies a = 5, \; b = -4$이다. 따라서 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4$이다.
[3-2 풀이] 점 $(1, 0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1) = 4$이므로 접선의 방정식은 $y = 4x - 4$이다. $x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = 4x - 4 \iff x(x - 1)^2 = 0$이므로 다시 만나는 점은 $Q(0, -4)$이다.
[3-3 풀이] 접점 $x = 1$과 교점 $x = 0$ 사이에서 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^1 |x^3 - 2x^2 + x|\,dx = \dfrac{1}{12}(1 - 0)^4 = \dfrac{1}{12}$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
|---|
| 소문항 [3-1] | [3-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [3-2] | [3-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [3-3] | [3-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (3-1) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ / (3-2) $Q(0, -4)$ / (3-3) $S = \dfrac{1}{12}$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 24 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
[제시문 (가)] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지의 위치의 변화량은 $\int_a^b v(t)\,dt$이고 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.
[제시문 (나)] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 5$)에서의 속도가 $v(t) = -3t^2 + 12t - 9$이다.
[문항 4-1] (8점) 점 $P$가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 출발 후 양의 방향으로 가장 멀리 이동했을 때의 위치를 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.
[문항 4-3] (9점) 점 $P$가 출발 후 원점을 다시 지나는 시각 $t > 0$을 구하고, 그 순간의 가속도를 구하시오.
[4-1 풀이] $v(t) = -3(t - 1)(t - 3) = 0$이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 1, \; 3$이다. 위치 $x(t) = -t^3 + 6t^2 - 9t$는 $t = 3$에서 극댓값 $x(3) = -27 + 54 - 27 = 0$을 갖는다.
[4-2 풀이] $t = 0$에서 $t = 4$까지 위치의 변화량은 $x(4) - x(0) = -64 + 96 - 36 = -4$이다. 실제 움직인 거리는 $\int_0^1 (-v(t))\,dt + \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 (-v(t))\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.
[4-3 풀이] $x(t) = -t(t - 3)^2 = 0$에서 $t > 0$인 해는 $t = 3$이다. 가속도 $a(t) = v'(t) = -6t + 12$이므로 $t = 3$에서의 가속도는 $a(3) = -6$이다.
| 평가 문항 | 대전대학교 한의예과 수리논술 채점 요소 및 부분점수 기준 | 배점 |
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| 소문항 [4-1] | [4-1 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [4-2] | [4-2 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 8점 |
| 소문항 [4-3] | [4-3 풀이] 수학적 정의 및 단계별 논증 완결성 | 9점 |
최종 정답 요약: (4-1) $t = 1, 3$, 최대 위치 $0$ / (4-2) 변화량 $-4$, 이동거리 $12$ / (4-3) $t = 3$, 가속도 $-6$