우함수 즉 성질에 의해 · \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx{\mkern0mu}{}\)이다.

\(\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{4}{3}{\mkern0mu}{}\)이기 즉 때문에 한 주기 길이 즉 \(4{\mkern0mu}{}\)인 구간 \([-2, 2]{\mkern0mu}{}\) 영역에서의 정적분은 · \(\dfrac{8}{3}{\mkern0mu}{}\)이다. 즉 구간 \([0, 20]{\mkern0mu}{}\)은 주기 \(4{\mkern0mu}{}\)가 \(5{\mkern0mu}{}\)번 반복되므로 \(\int_0^{20} f(x)\,dx = 5 \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{40}{3}{\mkern0mu}{}\)이다. 즉 또한 \((x^3 + 3x)f(x){\mkern0mu}{}\)는 기함수이기 때문에 · \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx = 2\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{16}{3}{\mkern0mu}{}\)이다.

구간 즉 \([0, 2]{\mkern0mu}{}\)와 \([2, 4]{\mkern0mu}{}\) 영역에서 모두 · 정적분이 \(\dfrac{4}{3}{\mkern0mu}{}\)이기 즉 때문에 길이 · \(2{\mkern0mu}{}\)인 구간마다 \(\dfrac{4}{3}{\mkern0mu}{}\)씩 증가한다. 그러므로 · \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}n = 40 \implies n = 30{\mkern0mu}{}\)이다.

\(Z = \dfrac{X - 500}{20}{\mkern0mu}{}\)으로 표준화하여 · 표준정규분포 확률을 즉 합산한다.

\(P(480 \le X \le 530) = P(-1.0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745{\mkern0mu}{}\)이다. \(n = 16{\mkern0mu}{}\)인 조건에서 · \(E(\overline{X}) = 500,\; \sigma(\overline{X}) = \dfrac{20}{\sqrt{16}} = 5{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · \(P(490 \le \overline{X} \le 505) = P(-2.0 \le Z \le 1.0) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185{\mkern0mu}{}\)이다.

\(P\left(Z \ge \dfrac{4}{20/\sqrt{n}}\right) = P\left(Z \ge \dfrac{\sqrt{n}}{5}\right) \le 0.0228 = 0.5 - 0.4772{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · \(\dfrac{\sqrt{n}}{5} \ge 2.0 \iff \sqrt{n} \ge 10 \implies n \ge 100{\mkern0mu}{}\)이다.

\(\alpha = 2\alpha - 3 \implies \alpha = 3{\mkern0mu}{}\)이기 · 때문에 \(a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3){\mkern0mu}{}\)이며 · 또한 \(a_1 - 3 = 2{\mkern0mu}{}\)이다.

\(a_n - 3 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \implies a_n = 2^n + 3{\mkern0mu}{}\)이다. · 그러므로 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} (2^k + 3) = \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} + 3n = 2^{n+1} + 3n - 2{\mkern0mu}{}\)이다.

\(a_k - 1 = 2^k + 2{\mkern0mu}{}\)이며 · 또한 \((a_{k+1} - 1) - (a_k - 1) = 2^{k+1} - 2^k = 2^k{\mkern0mu}{}\)이기 · 때문에 \(\dfrac{2^{k-1}}{(a_k-1)(a_{k+1}-1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2^k+2} - \dfrac{1}{2^{k+1}+2}\right){\mkern0mu}{}\)이다. · 그러므로 \(k = 1{\mkern0mu}{}\)부터 · \(10{\mkern0mu}{}\)까지 · 합하면 \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2050}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1023}{2050} = \dfrac{1023}{4100}{\mkern0mu}{}\)이다.

계산이 깔끔한 즉 사차 다항식 · \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k{\mkern0mu}{}\)로 도함수 즉 \(f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2){\mkern0mu}{}\)를 분석한다.

\(f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x + 1)(x - 2) = 0{\mkern0mu}{}\) 영역에서 즉 \(x = -1, 0, 2{\mkern0mu}{}\)이다. 극댓값은 즉 \(f(0) = k{\mkern0mu}{}\)이며 또한, 즉 두 극솟값은 · \(f(-1) = k - 5,\; f(2) = k - 32{\mkern0mu}{}\)이다.

중복 없는 즉 네 실근을 · 가지려면 극댓값 즉 \(f(0) \gt 0{\mkern0mu}{}\)이며 또한 즉 두 극솟값 · \(f(-1) \lt 0,\; f(2) \lt 0{\mkern0mu}{}\)이 동시에 즉 성립해야 하므로 · \(k \gt 0{\mkern0mu}{}\) 및 \(k - 5 \lt 0 \implies 0 \lt k \lt 5{\mkern0mu}{}\)이다. 그러므로 즉 정수 \(k{\mkern0mu}{}\)는 \(1, 2, 3, 4{\mkern0mu}{}\)의 \(4{\mkern0mu}{}\)개이다.

점 \(P(t, t^2){\mkern0mu}{}\) 영역에서의 접선의 · 기울기는 \(2t{\mkern0mu}{}\)이기 즉 때문에 \(l_t : y = 2tx - t^2{\mkern0mu}{}\)이며 즉 또한 \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2 \ge 0{\mkern0mu}{}\)이다.

\(S(t) = \int_0^2 (x - t)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - t)^3\right]_0^2 = \dfrac{1}{3}\{(2 - t)^3 + t^3\} = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}{\mkern0mu}{}\)이다.

\(S(t) = 2(t - 1)^2 + \dfrac{2}{3}{\mkern0mu}{}\)이기 즉 때문에 구간의 · 중점인 \(t = 1{\mkern0mu}{}\)인 조건에서 가장 · 작은 값 \(\dfrac{2}{3}{\mkern0mu}{}\)를 갖고, \(t = 0{\mkern0mu}{}\) 또는 \(t = 2{\mkern0mu}{}\)인 조건에서 가장 · 큰 값 \(\dfrac{8}{3}{\mkern0mu}{}\)를 갖는다.

\(a = 3, b = 4 \implies c = \sqrt{9 + 16} = 5{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · \(2a = 6{\mkern0mu}{}\), 초점은 · \((\pm 5, 0){\mkern0mu}{}\), 점근선은 · \(y = \pm\dfrac{4}{3}x{\mkern0mu}{}\)이다.

\(\overline{PF'} = \overline{F'F} = 2c = 10{\mkern0mu}{}\)이며 또한 · 제1사분면의 점이기 즉 때문에 \(\overline{PF'} - \overline{PF} = 6 \implies \overline{PF} = 10 - 6 = 4{\mkern0mu}{}\)이다.

이등변삼각형 \(PF'F{\mkern0mu}{}\)의 밑변 · \(\overline{PF} = 4{\mkern0mu}{}\)의 중점을 · \(M{\mkern0mu}{}\)이라 하면 · 높이는 \(\sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · \(S = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6}{\mkern0mu}{}\)이다. 초점 · \(F(5, 0){\mkern0mu}{}\) 영역에서 · 점근선 \(4x - 3y = 0{\mkern0mu}{}\)까지의 거리는 · \(\overline{FH_1} = \dfrac{20}{5} = 4{\mkern0mu}{}\)이며 또한 · \(\overline{OH_1} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · 사각형 \(OH_1 F H_2{\mkern0mu}{}\)의 넓이는 · \(2 \times \left(\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4\right) = 12{\mkern0mu}{}\)이다.