[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 탐구 15591 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【문항 1】 주기성과 즉 대칭성을 갖는 · 연속성 함수의 즉 정적분 추론 [15.0점]
[미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분]
[창의ICT 제시문 9-1] 연속성 즉 함수 \(f(x){\mkern0mu}{}\)가 모든 실수 · \(x{\mkern0mu}{}\)에 관하여 \(f(2a - x) = f(x){\mkern0mu}{}\)를 만족시키면 그래프는 · 직선 \(x = a{\mkern0mu}{}\)에 관하여 대칭이기 · 때문에 \(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx{\mkern0mu}{}\)가 항상 성립한다.
모든 즉 실수 영역 · 영역에서 연속인 즉 함수 \(f(x){\mkern0mu}{}\)가 다음 조건을 · 충족할 때, 즉 정적분의 수치를 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.
(조건 즉 1) \(0 \le x \le 2{\mkern0mu}{}\) 영역에서 \(f(x) = -x^2 + 2x{\mkern0mu}{}\)이다.
(조건 즉 2) 모든 · 실수 \(x{\mkern0mu}{}\)에 관하여 \(f(-x) = f(x){\mkern0mu}{}\)이며 즉 또한 \(f(x + 4) = f(x){\mkern0mu}{}\)이다.
[1-1] 구간 즉 \([-2, 2]{\mkern0mu}{}\) 영역에서 함수 · \(f(x){\mkern0mu}{}\)의 그래프 개형을 · 설명하고, 정적분 즉 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx{\mkern0mu}{}\)의 수치를 계산하시오. (4.0점)
[1-2] 정적분 즉 \(\int_0^{20} f(x)\,dx{\mkern0mu}{}\)와 \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx{\mkern0mu}{}\)의 수치를 각각 · 계산하시오. (5.0점)
[1-3] 자연수 즉 값 \(n{\mkern0mu}{}\)에 관하여 \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = 40{\mkern0mu}{}\)을 만족시키는 자연수 · 값 \(n{\mkern0mu}{}\)의 수치를 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15592 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]
【문항 2】 정규분포의 표준화와 · 표본평균의 확률 즉 추론 [15.0점]
[확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정]
[창의ICT 제시문 9-2] 모평균이 \(m{\mkern0mu}{}\), 모표준편차가 · \(\sigma{\mkern0mu}{}\)인 정규분포 · \(N(m, \sigma^2){\mkern0mu}{}\)을 따르는 · 모집단 영역에서 즉 크기가 \(n{\mkern0mu}{}\)인 표본을 · 임의추출할 때, 즉 표본평균 \(\overline{X}{\mkern0mu}{}\)는 정규분포 · \(N\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right){\mkern0mu}{}\)을 따르며 · \(Z = \dfrac{\overline{X} - m}{\sigma / \sqrt{n}}{\mkern0mu}{}\)은 표준정규분포 · \(N(0, 1){\mkern0mu}{}\)을 따른다.
어느 공장 · 영역에서 생산되는 즉 전기차 배터리 · 셀의 용량 즉 \(X{\mkern0mu}{}\)는 평균이 · \(m = 500{\mkern0mu}{}\), 표준편차가 · \(\sigma = 20{\mkern0mu}{}\)인 정규분포 · \(N(500, 20^2){\mkern0mu}{}\)을 따른다고 · 한다. (단, 즉 \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413,\; P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332,\; P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772{\mkern0mu}{}\)) 제시된 · 소문항을 순서대로 즉 해결하시오.
[2-1] 생산된 배터리 · 셀 중 영역에서 임의로 · 택한 \(1{\mkern0mu}{}\)개의 용량 · \(X{\mkern0mu}{}\)가 \(480{\mkern0mu}{}\) 이상 · \(530{\mkern0mu}{}\) 이하일 · 확률을 계산하시오. (4.0점)
[2-2] 이 공장 · 영역에서 크기 즉 \(n = 16{\mkern0mu}{}\)인 표본을 · 임의추출할 때, 즉 표본평균 \(\overline{X}{\mkern0mu}{}\)의 평균과 · 표준편차를 구하고 즉 \(P(490 \le \overline{X} \le 505){\mkern0mu}{}\)의 수치를 · 계산하시오. (5.0점)
[2-3] 크기 \(n{\mkern0mu}{}\)인 표본을 · 임의추출할 때 \(P(\overline{X} \ge 504) \le 0.0228{\mkern0mu}{}\)이 성립하도록 · 하는 최소의 즉 자연수 값 \(n{\mkern0mu}{}\)의 수치를 · 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 15593 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-05]
【문항 3】 선형 · 비제차 귀납 즉 관계식의 특성근 · 변환과 등비급수 즉 합 [15.0점]
[대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법]
[창의ICT 제시문 9-3] 수열계 · \(\{a_n\}{\mkern0mu}{}\)이 \(a_{n+1} = p a_n + q{\mkern0mu}{}\) (\(p \ne 1{\mkern0mu}{}\))를 · 충족할 때, 즉 \(\alpha = p\alpha + q{\mkern0mu}{}\)를 만족시키는 상수 즉 \(\alpha = \dfrac{q}{1 - p}{\mkern0mu}{}\)에 관하여 \(a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha){\mkern0mu}{}\)가 성립하므로 수열계 즉 \(\{a_n - \alpha\}{\mkern0mu}{}\)는 공비가 \(p{\mkern0mu}{}\)인 등비수열계이다.
수열계 · \(\{a_n\}{\mkern0mu}{}\)이 \(a_1 = 5{\mkern0mu}{}\)이며 · 또한 모든 즉 자연수 값 \(n{\mkern0mu}{}\)에 관하여 \(a_{n+1} = 2a_n - 3{\mkern0mu}{}\)을 충족할 때, 즉 일반항과 부분합을 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.
[3-1] 핵심 · 정리를 바탕으로 즉 상수 \(\alpha{\mkern0mu}{}\)의 수치를 구하고, 즉 수열계 \(\{a_n\}{\mkern0mu}{}\)의 일반항 \(a_n{\mkern0mu}{}\)을 계산하시오. (4.0점)
[3-2] 합 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2^{k-1}}{(a_k - 1)(a_{k+1} - 1)}{\mkern0mu}{}\)의 수치를 기약분수로 즉 계산하시오. (5.0점)
[3-3] [1-1] · \(\alpha = 3,\; a_n = 2^n + 3{\mkern0mu}{}\) | [1-2] 즉 \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2{\mkern0mu}{}\) | [1-3] 즉 \(\dfrac{1023}{4100}{\mkern0mu}{}\) (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 15594 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]
【문항 4】 사차관계등식의 실근의 즉 개수와 삼차 · 다항식의 극값 즉 부호 판별 [15.0점]
[미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용]
[창의ICT 제시문 9-4] 사차 다항식 즉 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k{\mkern0mu}{}\) (\(k{\mkern0mu}{}\)는 실수)의 즉 극값과 실근의 · 개수를 분석하고자 즉 한다. 제시된 · 소문항을 순서대로 즉 해결하시오.
최고차항의 계수가 즉 \(1{\mkern0mu}{}\)인 사차 즉 다항식 \(f(x) = x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 24x + k{\mkern0mu}{}\) (\(k{\mkern0mu}{}\)는 실수)의 즉 극값과 실근의 · 개수를 분석하고자 즉 한다. 제시된 · 소문항을 순서대로 즉 해결하시오.
[4-1] 도함수 \(f'(x){\mkern0mu}{}\)를 인수분해하여 즉 함수 \(f(x){\mkern0mu}{}\)가 극수치를 즉 갖는 모든 · \(x{\mkern0mu}{}\)의 수치를 즉 계산하시오. (4.0점)
[4-2] 함수 \(f(x){\mkern0mu}{}\)의 극댓값과 즉 두 극솟수치를 · 각각 \(k{\mkern0mu}{}\)에 대한 즉 식으로 나타내시오. (5.0점)
[4-3] [2-1] \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2),\; x = -1, 0, 2{\mkern0mu}{}\) | 즉 [2-2] 극댓값 · \(k{\mkern0mu}{}\), 극솟값 즉 \(k-5,\; k-32{\mkern0mu}{}\) | 즉 [2-3] \(0 \lt k \lt 5{\mkern0mu}{}\), 정수 즉 \(4{\mkern0mu}{}\)개 (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 15595 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 5】 이차곡선과 즉 접선으로 내부 · 폐영역의 면적의 즉 가장 작은 · 값 [20.0점]
[미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용]
[창의ICT 제시문 9-5] 포물선 즉 \(y = x^2{\mkern0mu}{}\)과 포물선 위의 · 점 \((t, t^2){\mkern0mu}{}\) 영역에서의 접선 · 및 직선 즉 \(x = k{\mkern0mu}{}\)로 내부 폐영역의 · 면적는 피적분함수 즉 \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2{\mkern0mu}{}\)이 항상 \(0{\mkern0mu}{}\) 이상이기 때문에 · 완전제곱식의 정적분으로 즉 계산된다.
포물선 즉 \(y = x^2{\mkern0mu}{}\) 위의 점 \(P(t, t^2){\mkern0mu}{}\) (\(0 \le t \le 2{\mkern0mu}{}\)) 영역에서의 접선을 · \(l_t{\mkern0mu}{}\)라고 즉 둘 때, · 포물선 \(y = x^2{\mkern0mu}{}\)과 접선 \(l_t{\mkern0mu}{}\) 및 두 직선 \(x = 0,\; x = 2{\mkern0mu}{}\)로 내부 폐영역의 · 면적를 \(S(t){\mkern0mu}{}\)라 하자. 제시된 · 소문항을 순서대로 즉 해결하시오.
[5-1] 접선 즉 \(l_t{\mkern0mu}{}\)의 관계등식을 구하고, · 모든 실수 즉 \(x{\mkern0mu}{}\)에 관하여 \(x^2 \ge 2tx - t^2{\mkern0mu}{}\)이 성립함을 이용하여 · \(S(t){\mkern0mu}{}\)를 정적분 식으로 · 나타내시오. (6.0점)
[5-2] 정적분을 즉 계산하여 \(S(t){\mkern0mu}{}\)를 \(t{\mkern0mu}{}\)에 대한 2차 · 다항함수로 나타내시오. (7.0점)
[5-3] \(0 \le t \le 2{\mkern0mu}{}\) 영역에서 넓이 · \(S(t){\mkern0mu}{}\)가 최소가 되도록 · 하는 \(t{\mkern0mu}{}\)의 값과 그때의 · 가장 작은 즉 값, 가장 · 큰 수치를 즉 각각 계산하시오. (7.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 15596 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
【문항 6】 쌍곡선의 정의와 · 점근선에 평행한 즉 직선의 기하적 · 성질 [20.0점]
[기하 Ⅰ-1. 이차곡선]
[창의ICT 제시문 9-6] 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1{\mkern0mu}{}\) (\(a \gt 0, b \gt 0{\mkern0mu}{}\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\mkern0mu}{}\) (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}{\mkern0mu}{}\))에 관하여 · 쌍곡선 위의 즉 점 \(P{\mkern0mu}{}\)는 \(|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2a{\mkern0mu}{}\)를 만족시키며, · 점근선의 관계등식은 즉 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x{\mkern0mu}{}\)이다.
쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1{\mkern0mu}{}\)의 두 초점을 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\mkern0mu}{}\) (\(c \gt 0{\mkern0mu}{}\))이라 하고, · 제1사분면에 있는 즉 쌍곡선 위의 · 점 \(P{\mkern0mu}{}\)에 관하여 · \(\triangle PF'F{\mkern0mu}{}\)가 \(\overline{PF'} = \overline{F'F}{\mkern0mu}{}\)인 이등변삼각형인 · 조건에서, 제시된 즉 소문항을 순서대로 · 해결하시오.
[6-1] 쌍곡선의 주축의 · 길이 \(2a{\mkern0mu}{}\), 두 초점의 좌표 즉 및 두 점근선의 관계등식을 즉 각각 계산하시오. (6.0점)
[6-2] 핵심 정리를 · 바탕으로 선분 즉 \(PF'{\mkern0mu}{}\)과 선분 · \(PF{\mkern0mu}{}\)의 길이를 · 각각 계산하시오. (7.0점)
[6-3] 삼각형 \(PF'F{\mkern0mu}{}\)의 넓이 · \(S{\mkern0mu}{}\)와 초점 · \(F{\mkern0mu}{}\) 영역에서 · 두 점근선에 즉 내린 수선의 · 발을 \(H_1, H_2{\mkern0mu}{}\)라고 둘 때 사각형 즉 \(OH_1 F H_2{\mkern0mu}{}\)의 넓이를 · 각각 계산하시오. (7.0점)