\(g(1) = 2,\; g'(1) = 4{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 때문에 즉 \(f(1) = 1 + a + b = 2{\mkern0mu}{}{}{}\) 및 \(f'(1) = 3 + a = 4{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 즉 \(a = 1,\; b = 0{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 그러므로 즉 \(f(x) = x^3 + x,\; g(x) = 2x^2{\mkern0mu}{}{}{}\)이며 또한 즉 점 \((1, 2){\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서의 즉 공통접선은 \(y = 4x - 2{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 교점은 즉 \(x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 즉 \((0, 0){\mkern0mu}{}{}{}\)과 \((1, 2){\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

문제 조건을 즉 \(f(x) = x^3 + ax + b{\mkern0mu}{}{}{}\)와 \(g(x) = 2x^2{\mkern0mu}{}{}{}\)이 \(x = 1{\mkern0mu}{}{}{}\)인 점 영역에서 접할 · 때로 두면 즉 \(g(1) = 2,\; g'(1) = 4{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 때문에 즉 \(1 + a + b = 2{\mkern0mu}{}{}{}\) 및 \(3 + a = 4 \implies a = 1,\; b = 0{\mkern0mu}{}{}{}\)이다! 그러므로 즉 \(f(x) = x^3 + x,\; g(x) = 2x^2{\mkern0mu}{}{}{}\)이며 또한 즉 점 \((1, 2){\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서의 즉 공통접선은 \(y = 4x - 2{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 교점은 즉 \(x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 즉 \((0, 0){\mkern0mu}{}{}{}\)과 \((1, 2){\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

둘러싸인 넓이는 즉 \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \dfrac{1}{12}{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

우함수 즉 조건 \(f(-x) = f(x){\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(b = 0{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 즉 때문에 \(f(x) = ax^2 + c{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

\(\int_{-1}^{1} (ax^2 + c)\,dx = \dfrac{2}{3}a + 2c = 4{\mkern0mu}{}{}{}\)이며 즉 또한, \(\int_{-1}^{1} (ax^4 + cx^2)\,dx = \dfrac{2}{5}a + \dfrac{2}{3}c = \dfrac{12}{5}{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 즉 연립하면 \(a = 3,\; c = 1{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 즉 때문에 \(f(x) = 3x^2 + 1{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 즉 \(H(k) = \int_{-1}^{1} f(x)^2\,dx - 2k\int_{-1}^{1} f(x)\,dx + 2k^2 = \dfrac{48}{5} - 8k + 2k^2 = 2(k - 2)^2 + \dfrac{8}{5}{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 즉 때문에 \(k = 2{\mkern0mu}{}{}{}\)인 조건에서 가장 · 작은 값 \(\dfrac{8}{5}{\mkern0mu}{}{}{}\)를 갖는다.

\(|3x^2 - 1| = 0{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 즉 때문에 \(\int_{-1}^{1} |3x^2 - 1|\,dx = 2\left\{\int_0^{1/\sqrt{3}} (1 - 3x^2)\,dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{1} (3x^2 - 1)\,dx\right\} = 2\left(\dfrac{2}{3\sqrt{3}} + \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\right) = \dfrac{8\sqrt{3}}{9}{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

중심 \(C(2, 2, 1){\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 · 원점까지의 거리는 즉 \(\overline{OC} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3{\mkern0mu}{}{}{}\)이며 또한 · 반지름은 \(r = 2{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

\(\overline{OP}{\mkern0mu}{}{}{}\)의 가장 · 큰 값은 즉 \(\overline{OC} + r = 5{\mkern0mu}{}{}{}\), 가장 · 작은 값은 즉 \(\overline{OC} - r = 1{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 두 점 \(P, Q{\mkern0mu}{}{}{}\)가 모두 · 원점 \(O{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 · 가장 먼 점(\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ},\; |\overrightarrow{OP}| = 5{\mkern0mu}{}{}{}\)) 영역에서 · 일치할 때 내적 \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}{\mkern0mu}{}{}{}\)는 가장 · 큰 값 \(5 \times 5 \times \cos 0 = 25{\mkern0mu}{}{}{}\)를 갖는다.

구 \(S{\mkern0mu}{}{}{}\)의 관계등식에 · \(z = 0{\mkern0mu}{}{}{}\)을 대입하면 · \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 3{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 때문에 · 원 \(D{\mkern0mu}{}{}{}\)의 중심은 · \(C'(2, 2, 0){\mkern0mu}{}{}{}\), 반지름은 · \(r' = \sqrt{3}{\mkern0mu}{}{}{}\), 넓이는 · \(3\pi{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 점 \(B(4, 4, 2){\mkern0mu}{}{}{}\)의 \(xy{\mkern0mu}{}{}{}\)평면 위로의 · 수선의 발을 즉 \(B'(4, 4, 0){\mkern0mu}{}{}{}\)이라 하면 · \(\overline{C'B'} = 2\sqrt{2}{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 때문에 · 원 \(D{\mkern0mu}{}{}{}\) 위의 · 점 \(X{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 · \(B'{\mkern0mu}{}{}{}\)까지의 최소 · 거리는 \(2\sqrt{2} - \sqrt{3}{\mkern0mu}{}{}{}\)이며 또한, · 피타고라스 정리에 즉 의해 \(\overline{BX}_{\min} = \sqrt{(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{15 - 4\sqrt{6}}{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

\(1 \le \log_{10} x \lt 2{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(2\log_{10} x - \log_{10} x = \log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)가 정수이기 때문에 즉 \(\log_{10} x = 1 \implies x = 10{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. · \(2 \le \log_{10} x \lt 3{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(\log_{10} x + 2\log_{10} x = 3\log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)가 정수이며 또한 즉 소수부분이 \(0{\mkern0mu}{}{}{}\)이 아니므로 \(3\log_{10} x = 7, 8{\mkern0mu}{}{}{}\) (\(\log_{10} x = 2{\mkern0mu}{}{}{}\)는 소수부분이 \(0{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 · 때문에 제외)이며, 즉 그러므로 모든 · \(x{\mkern0mu}{}{}{}\)의 곱은 \(10^{7/3 + 8/3} = 10^5{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

\(1 \le \log_{10} x \lt 2{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(2\log_{10} x - \log_{10} x = \log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)가 정수이기 때문에 즉 \(\log_{10} x = 1 \implies x = 10{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. · \(2 \le \log_{10} x \lt 3{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(\dfrac{3}{2}\log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)가 정수이며 또한 즉 소수부분이 \(0{\mkern0mu}{}{}{}\)이 아니므로 \(\dfrac{3}{2}\log_{10} x = 4 \implies \log_{10} x = \dfrac{8}{3}{\mkern0mu}{}{}{}\)이다(\(\dfrac{3}{2}\log_{10} x = 3{\mkern0mu}{}{}{}\)이면 · \(\log_{10} x = 2{\mkern0mu}{}{}{}\)로 소수부분이 \(0{\mkern0mu}{}{}{}\)이 되어 제외). 즉 문제 영역에서 · \(\log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)와 \(\log_{10}(x^2){\mkern0mu}{}{}{}\)의 소수부분 합이 즉 \(1{\mkern0mu}{}{}{}\)이라 · 하면 \(3\log_{10} x = 7, 8{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 곱은 즉 \(10^5{\mkern0mu}{}{}{}\)이다!

\(1 \le k \le 9{\mkern0mu}{}{}{}\) (\(9{\mkern0mu}{}{}{}\)개) · 영역에서 \(0{\mkern0mu}{}{}{}\), \(10 \le k \le 99{\mkern0mu}{}{}{}\) (\(90{\mkern0mu}{}{}{}\)개) · 영역에서 \(1{\mkern0mu}{}{}{}\), \(100 \le k \le 200{\mkern0mu}{}{}{}\) (\(101{\mkern0mu}{}{}{}\)개) · 영역에서 \(2{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 · 때문에 합은 즉 \(0 + 90 \times 1 + 101 \times 2 = 292{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

분모가 \(0{\mkern0mu}{}{}{}\)으로 수렴하므로 즉 분자도 \(0{\mkern0mu}{}{}{}\)으로 수렴해야 즉 하며 켤레식을 · 곱해 약분한다.

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 즉 \(x^2 + ax + 8 = (x - 2)(x + 2 + a) + 12 + 2a - b^2{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 때문에 즉 \(\dfrac{4 + a}{2b} = \dfrac{3}{4}{\mkern0mu}{}{}{}\)과 \(\sqrt{12 + 2a} = b{\mkern0mu}{}{}{}\)를 연립하면 즉 \(a = 2,\; b = 4{\mkern0mu}{}{}{}\)이다! 이때 즉 \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 8} - x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x + 8}{\sqrt{x^2+2x+8} + x} = 1{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

\(\sqrt{n^2 + 2n + 8} \gt n + \dfrac{3}{4}{\mkern0mu}{}{}{}\)의 양변을 즉 제곱하면 \(n^2 + 2n + 8 \gt n^2 + \dfrac{3}{2}n + \dfrac{9}{16}{\mkern0mu}{}{}{}\)으로 모든 즉 자연수 값 \(n{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 즉 성립하므로 부등식을 · \(\sqrt{n^2 + 2n + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}{\mkern0mu}{}{}{}\)으로 두면 즉 \(\dfrac{1}{5}n \gt 8 - \dfrac{121}{100} = \dfrac{679}{100} \implies n \ge 34{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.

\((x - \alpha)^2(x - \beta)^2 = \{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}^2{\mkern0mu}{}{}{}\)을 전개하여 삼차항과 · 이차항 계수를 즉 비교한다.

\(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(f(x) - (2x + 1) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 = x^2(x - 2)^2{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 즉 때문에 두 접점의 \(x{\mkern0mu}{}{}{}\)좌표는 즉 \(\alpha = 0,\; \beta = 2{\mkern0mu}{}{}{}\)이며 즉 또한 이중접선은 · \(l : y = 2x + 1{\mkern0mu}{}{}{}\)이다. 즉 \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x + 2{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 \(f'(x) = 2 \iff 4x(x - 1)(x - 2) = 0{\mkern0mu}{}{}{}\)이기 즉 때문에 \(x = 1{\mkern0mu}{}{}{}\)인 점 \((1, 4){\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서의 접선의 · 기울기는 \(2{\mkern0mu}{}{}{}\)로 직선 \(l{\mkern0mu}{}{}{}\)과 평행하다.

둘러싸인 즉 넓이는 \(S = \int_0^2 x^2(x - 2)^2\,dx = \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\dfrac{1}{5}x^5 - x^4 + \dfrac{4}{3}x^3\right]_0^2 = \dfrac{32}{5} - 16 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{15}{\mkern0mu}{}{}{}\)이다.