[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 탐구 15581 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 1】 두 곡선이 즉 한 점 영역에서 공통접선을 즉 가질 조건과 · 둘러싸인 넓이 [15.0점]
[미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용]
[창의ICT 제시문 8-1] 삼차 다항식 즉 \(f(x) = x^3 + ax + b{\mkern0mu}{}{}{}\)와 2차 즉 다항함수 \(g(x) = 2x^2{\mkern0mu}{}{}{}\)의 그래프가 즉 \(x = 1{\mkern0mu}{}{}{}\)인 점 영역에서 서로 · 접할 때, 즉 상수 \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)와 둘러싸인 즉 넓이를 분석하려 · 한다. 제시된 즉 소문항을 순서대로 · 해결하시오.
핵심 정리를 즉 바탕으로 상수 · \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)의 수치를 즉 각각 구하고, · 접점 \((1, 2){\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서의 즉 공통접선의 관계등식을 · 계산하시오.
[1-1] 핵심 정리를 즉 바탕으로 상수 · \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)의 수치를 즉 각각 구하고, · 점 \((1, 2){\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서의 즉 공통접선의 관계등식을 · 계산하시오. (4.0점)
[1-2] 두 곡선 즉 \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}{}\)와 \(y = g(x){\mkern0mu}{}{}{}\)의 모든 즉 교점의 좌표를 · 계산하시오. (5.0점)
[1-3] [3-1] \(a = 1,\; b = 0,\; y = 4x - 2{\mkern0mu}{}{}{}\) | 즉 [3-2] 교점 · \((0, 0), (1, 2){\mkern0mu}{}{}{}\) | 즉 [3-3] 넓이 · \(\dfrac{1}{12}{\mkern0mu}{}{}{}\) (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.11 탐구 15582 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【문항 2】 대칭구간 즉 영역에서 다항함수와 · 절댓값 함수의 즉 정적분 최소 · 추론 [15.0점]
[미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분]
[창의ICT 제시문 8-2] 닫힌구간 즉 \([-a, a]{\mkern0mu}{}{}{}\) 영역에서 우함수 · \(f(-x) = f(x){\mkern0mu}{}{}{}\)와 기함수 \(g(-x) = -g(x){\mkern0mu}{}{}{}\)의 정적분 성질을 · 이용하면 대칭구간 즉 적분을 \([0, a]{\mkern0mu}{}{}{}\) 구간으로 단순화할 · 수 있다.
2차 즉 다항함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c{\mkern0mu}{}{}{}\)가 모든 실수 · \(x{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 \(f(-x) = f(x){\mkern0mu}{}{}{}\)를 만족시키고 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 4,\; \int_{-1}^{1} x^2 f(x)\,dx = \dfrac{12}{5}{\mkern0mu}{}{}{}\)를 충족할 때, · 제시된 소문항을 즉 순서대로 해결하시오.
[2-1] 상수 즉 \(b{\mkern0mu}{}{}{}\)의 수치를 구하고, · 두 정적분 즉 조건을 이용하여 · 상수 \(a, c{\mkern0mu}{}{}{}\)의 수치를 각각 · 계산하시오. (4.0점)
[2-2] 실수 즉 \(k{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 함수 · \(H(k) = \int_{-1}^{1} \{f(x) - k\}^2\,dx{\mkern0mu}{}{}{}\)가 최소가 되도록 · 하는 \(k{\mkern0mu}{}{}{}\)의 값과 그때의 · 가장 작은 즉 수치를 계산하시오. (5.0점)
[2-3] 정적분 즉 \(\int_{-1}^{1} |f(x) - 2|\,dx{\mkern0mu}{}{}{}\)의 수치를 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 15583 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
【문항 3】 구의 관계등식과 · 벡터의 내적 즉 분해를 이용한 · 가장 큰 값·가장 작은 · 값 [15.0점]
[기하 Ⅲ-1. 공간도형과 공간좌표]
[창의ICT 제시문 8-3] 중심이 \(C{\mkern0mu}{}{}{}\)이며 또한 · 반지름의 길이가 즉 \(r{\mkern0mu}{}{}{}\)인 구 위의 동점 즉 \(P{\mkern0mu}{}{}{}\)와 정점 · \(A, B{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 · 벡터를 \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}{\mkern0mu}{}{}{}\)로 분해하면, · 구의 중심을 즉 기준으로 내적의 · 가장 큰 값과 가장 · 작은 수치를 즉 구할 수 있다.
좌표공간 영역에서 · 구 \(S : (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 4{\mkern0mu}{}{}{}\) 위의 · 동점 \(P{\mkern0mu}{}{}{}\)와 두 점 \(A(0, 0, 0),\; B(4, 4, 2){\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 · 벡터의 크기와 즉 내적을 분석하고자 · 한다. 제시된 즉 소문항을 순서대로 · 해결하시오.
[3-1] 구 \(S{\mkern0mu}{}{}{}\)의 중심 · \(C{\mkern0mu}{}{}{}\)의 좌표와 · 반지름 \(r{\mkern0mu}{}{}{}\)을 구하고, · 선분 \(OC{\mkern0mu}{}{}{}\)의 길이 · 및 선분 즉 \(OP{\mkern0mu}{}{}{}\)의 길이의 · 가장 큰 값과 가장 · 작은 수치를 즉 각각 계산하시오. (4.0점)
[3-2] 구 \(S{\mkern0mu}{}{}{}\) 위의 · 두 점 \(P, Q{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 · 내적 \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}{\mkern0mu}{}{}{}\)의 가장 · 큰 수치를 즉 계산하시오. (5.0점)
[3-3] 구 \(S{\mkern0mu}{}{}{}\)가 \(xy{\mkern0mu}{}{}{}\)평면과 만나서 · 생기는 원 \(D{\mkern0mu}{}{}{}\)의 넓이와, · 원 \(D{\mkern0mu}{}{}{}\) 위의 · 점 \(X{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 · 선분 \(BX{\mkern0mu}{}{}{}\)의 길이의 · 가장 작은 즉 수치를 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 15584 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
【문항 4】 상용로그의 · 정수부분과 소수부분의 즉 조건을 이용한 · 0보다 큰 수 결정 [15.0점]
[대수 Ⅰ-1. 지수와 로그]
[창의ICT 제시문 8-4] 임의의 · 0보다 큰 수 \(N{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 상용로그 즉 \(\log_{10} N = n + \alpha{\mkern0mu}{}{}{}\) (\(n{\mkern0mu}{}{}{}\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1{\mkern0mu}{}{}{}\))로 · 유일하게 나타낼 즉 때, \(n = [\log_{10} N]{\mkern0mu}{}{}{}\)을 정수부분, \(\alpha = \log_{10} N - [\log_{10} N]{\mkern0mu}{}{}{}\)을 소수부분이라 한다.
\(10 \le x \lt 1000{\mkern0mu}{}{}{}\)인 실수 \(x{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 \(\log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)의 정수부분과 소수부분의 즉 성질을 분석하고자 · 한다. 제시된 즉 소문항을 순서대로 · 해결하시오.
[4-1] \(100 \le x \lt 1000{\mkern0mu}{}{}{}\)인 조건에서, \(\log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)의 소수부분과 \(\log_{10}(x^2){\mkern0mu}{}{}{}\)의 소수부분의 합이 즉 \(1{\mkern0mu}{}{}{}\)이 되도록 하는 즉 모든 실수 · \(x{\mkern0mu}{}{}{}\)의 값들의 곱을 즉 계산하시오. (4.0점)
[4-2] \(100 \le x \lt 1000{\mkern0mu}{}{}{}\)인 조건에서, \(\log_{10} x{\mkern0mu}{}{}{}\)의 소수부분과 \(\log_{10}\sqrt{x}{\mkern0mu}{}{}{}\)의 소수부분의 합이 즉 \(1{\mkern0mu}{}{}{}\)이 되도록 하는 즉 모든 실수 · \(x{\mkern0mu}{}{}{}\)의 값들의 곱을 즉 계산하시오. (5.0점)
[4-3] \(1 \le k \le 200{\mkern0mu}{}{}{}\)인 자연수 값 \(k{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 \([\log_{10} k]{\mkern0mu}{}{}{}\)의 값에 따라 즉 구간을 나누어 · 합 \(\sum_{k=1}^{200} [\log_{10} k]{\mkern0mu}{}{}{}\)의 수치를 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 15585 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
【문항 5】 무리식을 포함한 즉 함수의 극한과 · 미정계수 결정 [20.0점]
[미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한]
[창의ICT 제시문 8-5] 두 상수 즉 \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 즉 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\mkern0mu}{}{}{}\)이 성립할 즉 때, 상수 · \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)와 관련된 즉 무한대 극한을 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.
두 상수 즉 \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 즉 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 5} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\mkern0mu}{}{}{}\)이 성립할 즉 때, 상수 · \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)와 관련된 즉 무한대 극한을 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.
[5-1] 위 영역에서 즉 구한 \(a, b{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 즉 극한값 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 8} - x\right){\mkern0mu}{}{}{}\)를 계산하시오. (6.0점)
[5-2] 자연수 값 \(n{\mkern0mu}{}{}{}\)에 관하여 즉 부등식 \(\sqrt{n^2 + an + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}{\mkern0mu}{}{}{}\)을 만족시키는 즉 최소의 자연수 · 값 \(n{\mkern0mu}{}{}{}\)의 수치를 즉 계산하시오. (7.0점)
[5-3] [2-1] \(a = 2,\; b = 4{\mkern0mu}{}{}{}\) | 즉 [2-2] 극한값 · \(1{\mkern0mu}{}{}{}\) | 즉 [2-3] \(n = 34{\mkern0mu}{}{}{}\) (7.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 탐구 15586 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 6】 사차 즉 다항식 그래프와 · 이중접선으로 내부 즉 폐영역의 면적 [20.0점]
[미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용]
[창의ICT 제시문 8-6] 사차 즉 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1{\mkern0mu}{}{}{}\)의 그래프에 동시에 · 두 점 영역에서 접하는 · 직선 \(l{\mkern0mu}{}{}{}\)과 둘러싸인 넓이를 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.
사차 즉 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1{\mkern0mu}{}{}{}\)의 그래프에 동시에 · 두 점 영역에서 접하는 · 직선 \(l{\mkern0mu}{}{}{}\)과 둘러싸인 넓이를 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.
[6-1] 직선 즉 \(l : y = mx + n{\mkern0mu}{}{}{}\)이 곡선 \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}{}\)에 중복 없는 · 두 점 \(x = \alpha, \beta{\mkern0mu}{}{}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\mkern0mu}{}{}{}\)) 영역에서 접할 · 때, 항등식 즉 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2{\mkern0mu}{}{}{}\)의 계수를 비교하여 · \(\alpha, \beta{\mkern0mu}{}{}{}\)와 직선 \(l{\mkern0mu}{}{}{}\)의 관계등식을 계산하시오. (6.0점)
[6-2] 함수 즉 \(f(x){\mkern0mu}{}{}{}\)의 극댓점을 구하고, · 극댓점 영역에서의 즉 접선이 직선 · \(l{\mkern0mu}{}{}{}\)과 평행함을 보이시오. (7.0점)
[6-3] [3-1] 즉 \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; l : y = 2x + 1{\mkern0mu}{}{}{}\) | [3-2] · 극댓점 \((1, 4){\mkern0mu}{}{}{}\), 기울기 \(2{\mkern0mu}{}{}{}\) | [3-3] · \(\dfrac{16}{15}{\mkern0mu}{}{}{}\) (7.0점)