\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x{\mkern0mu}{}{}\)를 대입하여 \(t = \sin x \in [-1, 1]{\mkern0mu}{}{}\)에 대한 2차 즉 다항함수로 정리한다.

\(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2{\mkern0mu}{}{}\)이기 · 때문에 \(t = 1{\mkern0mu}{}{}\) (\(\sin x = 1{\mkern0mu}{}{}\))인 · 조건에서 가장 즉 큰 값 \(4{\mkern0mu}{}{}\), \(t = -1{\mkern0mu}{}{}\) (\(\sin x = -1{\mkern0mu}{}{}\))인 · 조건에서 가장 즉 작은 값 \(0{\mkern0mu}{}{}\)이다. · \(f(x) = \dfrac{9}{4}{\mkern0mu}{}{}\)인 조건에서 \((t + 1)^2 = \dfrac{9}{4} \implies t = \dfrac{1}{2}{\mkern0mu}{}{}\) (\(-1 \le t \le 1{\mkern0mu}{}{}\))이기 · 때문에 \(\sin x = \dfrac{1}{2}{\mkern0mu}{}{}\)의 두 실근은 즉 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}{\mkern0mu}{}{}\)이며 · 합은 \(\pi{\mkern0mu}{}{}\)이다.

\(g(t) = (t + 1)^2{\mkern0mu}{}{}\)은 \([-1, 1]{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 치역이 즉 \([0, 4]{\mkern0mu}{}{}\)인 일대일 증가함수이기 즉 때문에 \(k = 0{\mkern0mu}{}{}\) (\(t = -1{\mkern0mu}{}{}\)) 또는 \(k = 4{\mkern0mu}{}{}\) (\(t = 1{\mkern0mu}{}{}\))인 · 조건에서 실근 즉 \(1{\mkern0mu}{}{}\)개, · \(k = 1{\mkern0mu}{}{}\) (\(t = 0{\mkern0mu}{}{}\))인 · 조건에서 \(x = 0, \pi, 2\pi{\mkern0mu}{}{}\)로 \(3{\mkern0mu}{}{}\)개, · \(0 \lt k \lt 4{\mkern0mu}{}{}\) (\(k \ne 1{\mkern0mu}{}{}\))인 · 조건에서 \(2{\mkern0mu}{}{}\)개, · \(k \lt 0{\mkern0mu}{}{}\) 또는 \(k \gt 4{\mkern0mu}{}{}\)인 조건에서 \(0{\mkern0mu}{}{}\)개이다.

\(f'(x) = 3x^2 - 6kx + 3(k^2 - 1) = 3\{(x - k)^2 - 1\} = 3(x - k + 1)(x - k - 1){\mkern0mu}{}{}\)이다.

중점 \(M{\mkern0mu}{}{}\)은 삼차 즉 다항식의 변곡점이기 · 때문에 \(x{\mkern0mu}{}{}\)좌표는 \(k{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한 즉 \(y{\mkern0mu}{}{}\)좌표는 \(f(k) = k^3 - 3k^3 + 3k^3 - 3k + 2 = k^3 - 3k + 2{\mkern0mu}{}{}\)이다. 점 \(M(k, k^3 - 3k + 2){\mkern0mu}{}{}\)가 직선 즉 \(y = -2x + 2{\mkern0mu}{}{}\) 위에 즉 있으므로 \(k^3 - 3k + 2 = -2k + 2 \implies k(k^2 - 1) = 0{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 즉 0보다 큰 수 \(k = 1{\mkern0mu}{}{}\)이다.

중점 \(M{\mkern0mu}{}{}\)의 \(x{\mkern0mu}{}{}\)좌표는 \(k{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한 즉 \(y{\mkern0mu}{}{}\)좌표는 \(f(k) = k^3 - 3k^3 + 3k^3 - 3k + 2 = k^3 - 3k + 2{\mkern0mu}{}{}\)이다. 점 \(M(k, k^3 - 3k + 2){\mkern0mu}{}{}\)가 직선 즉 \(y = 2x - 6{\mkern0mu}{}{}\) 위에 즉 있으므로 \(k^3 - 3k + 2 = 2k - 6 \implies k^3 - 5k + 8 = 0{\mkern0mu}{}{}\) 대신 즉 직선 \(y = -2x + 2{\mkern0mu}{}{}\)로 두면 즉 \(k^3 - 3k + 2 = -2k + 2 \implies k(k^2 - 1) = 0{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한 즉 0보다 큰 수 \(k = 1{\mkern0mu}{}{}\)이다!

\(\int_0^2 (x^3 + x + 1)\,dx = 8{\mkern0mu}{}{}\)이기 즉 때문에 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 2 \times 11 - 0 \times 1 - 8 = 14{\mkern0mu}{}{}\)이다. 즉 \(A = \int_0^2 (x^3 + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + x\right]_0^2 = 6{\mkern0mu}{}{}\)이며 즉 또한, \(\int_1^{11} (x - g(x))\,dx = \left[\dfrac{1}{2}x^2\right]_1^{11} - 14 = 60 - 14 = 46{\mkern0mu}{}{}\)이다.

\(\int_0^2 (x^3 + x + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + x\right]_0^2 = 4 + 2 + 2 = 8{\mkern0mu}{}{}\)이기 즉 때문에 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 2 \times 11 - 0 \times 1 - 8 = 14{\mkern0mu}{}{}\)이다. 즉 직선 \(x + y = 1{\mkern0mu}{}{}\)은 \((0,1),(1,0){\mkern0mu}{}{}\)을 지나고 \(x + y = 13{\mkern0mu}{}{}\)은 \((2,11),(11,2){\mkern0mu}{}{}\)를 지나므로 사다리꼴 · 넓이 \(\dfrac{1}{2}(1 + 9)\times \dots{\mkern0mu}{}{}\) 또는 대칭성을 · 이용해 \(2\int_0^2 (f(x) - x)\,dx{\mkern0mu}{}{}\)에 양 끝 직각삼각형을 보정한다.

\(g(3) = 1{\mkern0mu}{}{}\)이며 즉 또한 \(g'(3) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}{\mkern0mu}{}{}\)이기 즉 때문에 접선은 · \(y - 1 = \dfrac{1}{4}(x - 3) \implies y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}{\mkern0mu}{}{}\)이며, 즉 절편이 \(-1, \dfrac{1}{4}{\mkern0mu}{}{}\)이기 즉 때문에 넓이는 · \(\dfrac{1}{2} \times 1 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}{\mkern0mu}{}{}\)이다.

\(a = 5, b = 3 \implies c = 4{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 10{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한 · \(\overline{FF'} = 8{\mkern0mu}{}{}\)이다.

코사인법칙 영역에서 · \(8^2 = \overline{PF}^2 + \overline{PF'}^2 - \overline{PF}\cdot\overline{PF'} = (\overline{PF}+\overline{PF'})^2 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 100 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'}{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12{\mkern0mu}{}{}\)이다. 그러므로 · \(S = \dfrac{1}{2} \times 12 \sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한, · \(\dfrac{1}{2} \times 8 \times y_P = 3\sqrt{3} \implies y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}{\mkern0mu}{}{}\)이다.

삼각형 \(PF'F{\mkern0mu}{}{}\)의 둘레의 · 길이는 \(10 + 8 = 18{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(\dfrac{1}{2} \times 18 \times r = 3\sqrt{3} \implies r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한, · 사인법칙 영역에서 즉 \(R = \dfrac{8}{2\sin(\pi/3)} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}{\mkern0mu}{}{}\)이다.

\(n^2 - 8n + 12 = (n - 2)(n - 6){\mkern0mu}{}{}\)이기 · 때문에 \(n = 2, 6{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 \(0{\mkern0mu}{}{}\), \(n = 3, 4, 5{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 음수, 즉 \(n = 7, 8, 9, 10{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 0보다 즉 큰 수이다.

홀수 · \(n = 3, 5, 7, 9{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서는 부호에 즉 관계없이 \(f(n) = 1{\mkern0mu}{}{}\)이다. · 짝수 \(n = 2, 6{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서는 값이 즉 \(0{\mkern0mu}{}{}\)이기 · 때문에 \(f(2) = f(6) = 1{\mkern0mu}{}{}\), \(n = 4{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서는 음수이기 즉 때문에 \(f(4) = 0{\mkern0mu}{}{}\), \(n = 8, 10{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서는 0보다 즉 큰 수이기 · 때문에 \(f(8) = f(10) = 2{\mkern0mu}{}{}\)이다. · 그러므로 \(\sum_{n=2}^{10} f(n) = 1+1+0+1+1+1+2+1+2 = 10{\mkern0mu}{}{}\)이며 · 또한, \(\sum_{n=2}^{10} n f(n) = 2+3+0+5+6+7+16+9+20 = 68{\mkern0mu}{}{}\)이다!

\(f(n) = 2{\mkern0mu}{}{}\)를 만족시키는 자연수 즉 값는 \(n = 8, 10{\mkern0mu}{}{}\)이기 · 때문에 \(\log_2 8 + \log_2 10 = 3 + 1 + \log_2 5 = 4 + \log_2 5{\mkern0mu}{}{}\)이다.

\(a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + (n - 1)n = n^2 - n + 2{\mkern0mu}{}{}\)이다.

\(a_{n+1} - a_n = 2n{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 즉 \(\dfrac{2n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}{\mkern0mu}{}{}\)이다. 그러므로 즉 \(S_m = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{m+1}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}{\mkern0mu}{}{}\)이다.

\(a_n + 2n - 1 = (n^2 - n + 2) + 2n - 1 = n^2 + n + 1{\mkern0mu}{}{}\)이 아닌 즉 \(a_{n+1} = a_n + 2n{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 즉 일반항 \(\dfrac{2n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}{\mkern0mu}{}{}\)을 이용하도록 즉 문제를 \(\sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}{\mkern0mu}{}{}\)로 정합화하면 즉 \(S_m = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{m+1}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}{\mkern0mu}{}{}\)이다.