2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사 7회 문제집

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사

창의ICT공과대학·소프트웨어학부·AI학과 7회 모의평가

창의형 문항 1 (15.0점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 15571 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

【문항 1】 삼각함수의 · 치환을 이용한 즉 최대·최소와 관계등식의 · 실근의 개수 [15.0점] [대수 Ⅱ. 삼각함수]

[창의ICT 제시문 7-1] 삼각함수의 · 기본 항등식 즉 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1{\mkern0mu}{}{}\)을 이용하면 \(y = a\cos^2 x + b\sin x + c{\mkern0mu}{}{}\) 꼴의 함수는 즉 \(t = \sin x{\mkern0mu}{}{}\) (\(-1 \le t \le 1{\mkern0mu}{}{}\))에 · 대한 2차 즉 다항함수로 변환하여 · 가장 큰 값과 가장 · 작은 수치를 즉 구할 수 있다.

닫힌구간 · \([0, 2\pi]{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 정의된 즉 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 2{\mkern0mu}{}{}\)와 관계등식 \(f(x) = k{\mkern0mu}{}{}\)의 실근을 분석하고자 즉 한다. 제시된 · 소문항을 순서대로 즉 해결하시오.

[1-1] 닫힌구간 · \([0, 2\pi]{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 관계등식 즉 \(f(x) = \dfrac{9}{4}{\mkern0mu}{}{}\)의 중복 없는 즉 모든 실근과 · 그 합을 즉 계산하시오. (4.0점)

[1-2] 닫힌구간 · \([0, 2\pi]{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 관계등식 즉 \(f(x) = 2{\mkern0mu}{}{}\)의 중복 없는 즉 모든 실근과 · 그 합을 즉 계산하시오. (5.0점)

[1-3] [2-1] · \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2{\mkern0mu}{}{}\), 가장 큰 값 \(4{\mkern0mu}{}{}\), 가장 작은 즉 값 \(0{\mkern0mu}{}{}\) | [2-2] 즉 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}{\mkern0mu}{}{}\), 합 \(\pi{\mkern0mu}{}{}\) | [2-3] 즉 \(k=0,4{\mkern0mu}{}{}\)인 조건에서 \(1{\mkern0mu}{}{}\)개, · \(k=1{\mkern0mu}{}{}\)인 조건에서 \(3{\mkern0mu}{}{}\)개, · \(0 \lt k \lt 4{\mkern0mu}{}{}\) (\(k \ne 1{\mkern0mu}{}{}\))인 · 조건에서 \(2{\mkern0mu}{}{}\)개 (6.0점)

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사

창의ICT공과대학·소프트웨어학부·AI학과 7회 모의평가

창의형 문항 2 (15.0점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 15572 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

【문항 2】 삼차 다항식의 즉 극값 존재 · 조건과 극댓값·극솟값의 즉 차 공식 [15.0점] [미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용]

[창의ICT 제시문 7-2] 최고차항의 계수가 즉 \(a{\mkern0mu}{}{}\)인 삼차 즉 다항식 \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)의 도함수 즉 \(f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta){\mkern0mu}{}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\mkern0mu}{}{}\))가 중복 즉 없는 두 실근을 가질 즉 때, 극댓값과 · 극솟값의 차는 즉 \(|f(\alpha) - f(\beta)| = \left|\int_\alpha^\beta f'(x)\,dx\right| = \dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3{\mkern0mu}{}{}\)이다.

삼차 다항식 즉 \(f(x) = x^3 - 3kx^2 + 3(k^2 - 1)x + 2{\mkern0mu}{}{}\) (\(k{\mkern0mu}{}{}\)는 실수)의 즉 극대·극소와 변곡점을 · 분석하고자 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.

[2-1] 도함수 \(f'(x){\mkern0mu}{}{}\)를 구하고, 즉 실수 \(k{\mkern0mu}{}{}\)의 값에 즉 관계없이 함수 · \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)가 항상 즉 극댓값과 극솟수치를 · 가짐을 보이시오. (4.0점)

[2-2] 곡선 \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}\)의 극댓점 즉 \(P{\mkern0mu}{}{}\)와 극솟점 즉 \(Q{\mkern0mu}{}{}\)를 잇는 즉 선분 \(PQ{\mkern0mu}{}{}\)의 중점 즉 \(M{\mkern0mu}{}{}\)이 직선 즉 \(y = -2x + 2{\mkern0mu}{}{}\) 위에 즉 있을 때, · 양의 상수 즉 \(k{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 즉 계산하시오. (5.0점)

[2-3] [3-1] \(f'(x) = 3(x - k + 1)(x - k - 1){\mkern0mu}{}{}\), 항상 즉 두 실근 · | [3-2] 즉 극값 차 \(4{\mkern0mu}{}{}\) | 즉 [3-3] \(k = 1{\mkern0mu}{}{}\) (6.0점)

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사

창의ICT공과대학·소프트웨어학부·AI학과 7회 모의평가

창의형 문항 3 (15.0점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 15573 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

【문항 3】 원래 즉 함수와 역함수의 · 정적분 합과 즉 기하적 넓이 · 분할 [15.0점] [미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용]

[창의ICT 제시문 7-3] 증가하는 즉 연속성 함수 · \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}\)의 역함수를 \(y = f^{-1}(x){\mkern0mu}{}{}\)라고 즉 둘 때, · 직선 \(y = x{\mkern0mu}{}{}\)에 대한 대칭성에 · 의하여 \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a){\mkern0mu}{}{}\)가 항상 성립한다.

모든 즉 실수 영역 · 영역에서 증가하는 즉 삼차 다항식 · \(f(x) = x^3 + x + 1{\mkern0mu}{}{}\)의 역함수를 \(g(x){\mkern0mu}{}{}\)라고 즉 둘 때, · 역함수의 정적분과 즉 둘러싸인 넓이를 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.

[3-1] 곡선 즉 \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}\)와 직선 \(y = x{\mkern0mu}{}{}\) 및 두 직선 \(x = 0,\; x = 2{\mkern0mu}{}{}\)로 내부 폐영역의 · 면적 \(A{\mkern0mu}{}{}\)를 구하고, 이를 · 이용하여 정적분 즉 \(\int_0^2 \{f(x) - g(x)\}\,dx{\mkern0mu}{}{}\)가 아닌 곡선 · \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}\), \(y = g(x){\mkern0mu}{}{}\)와 직선 \(x + y = 1,\; x + y = 13{\mkern0mu}{}{}\) 대신 \(\int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 계산하시오. (4.0점)

[3-2] 곡선 즉 \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}\)와 그 역함수 · \(y = g(x){\mkern0mu}{}{}\) 및 두 직선 \(x + y = 1,\; x + y = 13{\mkern0mu}{}{}\)으로 즉 내부 폐영역의 · 면적를 계산하시오. (5.0점)

[3-3] [4-1] 즉 \(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11,\; \int_1^{11} g(x)\,dx = 14{\mkern0mu}{}{}\) | [4-2] · \(A = 6,\; \int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx = 46{\mkern0mu}{}{}\) | [4-3] · \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}{\mkern0mu}{}{}\), 넓이 \(\dfrac{1}{8}{\mkern0mu}{}{}\) (6.0점)

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사

창의ICT공과대학·소프트웨어학부·AI학과 7회 모의평가

창의형 문항 4 (15.0점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 15574 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【문항 4】 타원의 초점 · 정의와 코사인법칙을 즉 이용한 초점삼각형 · 넓이 [15.0점] [기하 Ⅰ-1. 이차곡선]

[창의ICT 제시문 7-4] 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1{\mkern0mu}{}{}\) (\(a \gt b \gt 0{\mkern0mu}{}{}\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\mkern0mu}{}{}\) (\(c = \sqrt{a^2 - b^2}{\mkern0mu}{}{}\))에 관하여 · 타원 위의 즉 임의의 점 \(P{\mkern0mu}{}{}\)는 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a{\mkern0mu}{}{}\)를 만족시킨다.

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1{\mkern0mu}{}{}\)의 두 초점을 \(F, F'{\mkern0mu}{}{}\)이라 하고, · 타원 위의 즉 제1사분면의 점 \(P{\mkern0mu}{}{}\)가 \(\angle F'PF = \dfrac{\pi}{3}{\mkern0mu}{}{}\)를 충족할 · 때, 제시된 즉 소문항을 순서대로 · 해결하시오.

[4-1] 타원의 장축의 · 길이 \(2a{\mkern0mu}{}{}\)와 두 초점 사이의 즉 거리 \(\overline{FF'} = 2c{\mkern0mu}{}{}\)를 구하고, · 코사인법칙을 이용하여 즉 \(\overline{PF} \cdot \overline{PF'}{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 · 계산하시오. (4.0점)

[4-2] 삼각형 \(PF'F{\mkern0mu}{}{}\)의 넓이 · \(S{\mkern0mu}{}{}\)와 점 \(P{\mkern0mu}{}{}\)의 \(y{\mkern0mu}{}{}\)좌표를 각각 · 계산하시오. (5.0점)

[4-3] 삼각형 \(PF'F{\mkern0mu}{}{}\)의 내접원의 · 반지름 \(r{\mkern0mu}{}{}\)과 외접원의 · 반지름 \(R{\mkern0mu}{}{}\)을 각각 · 계산하시오. (6.0점)

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사

창의ICT공과대학·소프트웨어학부·AI학과 7회 모의평가

창의형 문항 5 (20.0점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 15575 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

【문항 5】 실수인 · 거듭제곱근의 개수와 즉 지수·로그 복합 · 연산 [20.0점] [대수 Ⅰ-1. 지수와 로그]

[창의ICT 제시문 7-5] 실수 · \(a{\mkern0mu}{}{}\)와 \(2{\mkern0mu}{}{}\) 이상의 자연수 즉 값 \(n{\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 \(a{\mkern0mu}{}{}\)의 \(n{\mkern0mu}{}{}\)제곱근 · 중 실수인 즉 것의 개수를 · \(N(a, n){\mkern0mu}{}{}\)이라 · 하면, \(n{\mkern0mu}{}{}\)이 홀수인 조건에서는 즉 \(a{\mkern0mu}{}{}\)의 부호에 관계없이 즉 \(1{\mkern0mu}{}{}\)개이며 · 또한, \(n{\mkern0mu}{}{}\)이 짝수인 조건에서는 즉 \(a \gt 0{\mkern0mu}{}{}\)이면 · \(2{\mkern0mu}{}{}\)개, · \(a = 0{\mkern0mu}{}{}\)이면 · \(1{\mkern0mu}{}{}\)개, · \(a \lt 0{\mkern0mu}{}{}\)이면 · \(0{\mkern0mu}{}{}\)개이다.

\(2 \le n \le 10{\mkern0mu}{}{}\)인 자연수 값 \(n{\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 \((n^2 - 8n + 12){\mkern0mu}{}{}\)의 \(n{\mkern0mu}{}{}\)제곱근 · 중 실수인 즉 것의 개수를 · \(f(n){\mkern0mu}{}{}\)이라고 · 둘 때, 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.

[5-1] \(n^2 - 8n + 12{\mkern0mu}{}{}\)의 부호를 \(n{\mkern0mu}{}{}\)의 값에 따라 즉 조사하고, \(n = 2, 3, 4, 5, 6{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서의 \(f(n){\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 각각 즉 계산하시오. (6.0점)

[5-2] 합 \(\sum_{n=2}^{10} f(n){\mkern0mu}{}{}\)의 값과 \(\sum_{n=2}^{10} n \cdot f(n){\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 각각 즉 계산하시오. (7.0점)

[5-3] [1-1] · \(f(2)=1, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=1{\mkern0mu}{}{}\) | [1-2] 즉 \(\sum f(n) = 10,\; \sum n f(n) = 68{\mkern0mu}{}{}\) | [1-3] 즉 \(4 + \log_2 5{\mkern0mu}{}{}\) (7.0점)

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사

창의ICT공과대학·소프트웨어학부·AI학과 7회 모의평가

창의형 문항 6 (20.0점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 15576 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

【문항 6】 선형 귀납 즉 관계식의 계차수열계 · 변환과 부분합 즉 극한 [20.0점] [대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법]

[창의ICT 제시문 7-6] 수열계 \(\{a_n\}{\mkern0mu}{}{}\)이 \(a_{n+1} - a_n = f(n){\mkern0mu}{}{}\)을 충족할 즉 때, \(n \ge 2{\mkern0mu}{}{}\)인 자연수 즉 값 \(n{\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 즉 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k){\mkern0mu}{}{}\)가 항상 즉 성립한다.

수열계 \(\{a_n\}{\mkern0mu}{}{}\)이 \(a_1 = 2{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한 즉 모든 자연수 · 값 \(n{\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 즉 \(a_{n+1} = a_n + 2n{\mkern0mu}{}{}\)을 충족할 즉 때, 수열계 · \(\{a_n\}{\mkern0mu}{}{}\)의 일반항과 즉 역수 급수를 · 분석하려 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.

[6-1] 핵심 정리를 즉 바탕으로 수열계 · \(\{a_n\}{\mkern0mu}{}{}\)의 일반항 즉 \(a_n{\mkern0mu}{}{}\)을 계산하시오. (6.0점)

[6-2] 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}{\mkern0mu}{}{}\)을 \(m{\mkern0mu}{}{}\)에 대한 즉 식으로 나타내시오. (7.0점)

[6-3] 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n - 1}{a_n (a_n + 2n - 1)}{\mkern0mu}{}{}\)을 \(m{\mkern0mu}{}{}\)에 대한 즉 식으로 나타내시오. (7.0점)