진수 조건 · \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0{\mkern0mu}{}\) 영역에서 · \(x \gt 3{\mkern0mu}{}\)이다.

\((x - 1)(x - 3) \le 8 \iff x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) \le 0 \implies -1 \le x \le 5{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · \(x \gt 3{\mkern0mu}{}\)과 연립하면 · \(3 \lt x \le 5{\mkern0mu}{}\)이며 또한 · 정수 \(x = 4, 5{\mkern0mu}{}\)의 합은 · \(9{\mkern0mu}{}\)이다. 두 번째 부등식은 즉 \((\log_2 x - 1)(\log_2 x - 4) \le 0 \implies 2 \le x \le 16{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · 공통 범위는 즉 \(3 \lt x \le 5{\mkern0mu}{}\)이다.

\(x \gt 3{\mkern0mu}{}\) 영역에서 · \(g(x) = (x - 1)(x - 3){\mkern0mu}{}\)은 엄격히 · 증가하므로 정수해가 즉 \(x = 4, 5, 6{\mkern0mu}{}\)의 \(3{\mkern0mu}{}\)개가 되려면 · \(g(6) \le m \lt g(7){\mkern0mu}{}\)이어야 한다. · \(g(6) = 5 \times 3 = 15,\; g(7) = 6 \times 4 = 24{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · \(15 \le m \lt 24{\mkern0mu}{}\)이다.

세 변 \(c = 5, a = 7, b = 8{\mkern0mu}{}\)을 코사인법칙에 대입한다.

\(\cos B = \dfrac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7}{\mkern0mu}{}\)이 아닌 \(\cos A = \dfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}{\mkern0mu}{}\)이다! · 그러므로 각 \(A{\mkern0mu}{}\)에 관하여 \(\cos A = \dfrac{1}{2},\; A = \dfrac{\pi}{3}{\mkern0mu}{}\)이며 · 또한 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}{\mkern0mu}{}\)이다. · 외접원 반지름은 즉 \(2R = \dfrac{7}{\sin(\pi/3)} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}{\mkern0mu}{}\)이며 · 또한, 둘레가 즉 \(20{\mkern0mu}{}\)이기 · 때문에 \(10r = 10\sqrt{3} \implies r = \sqrt{3}{\mkern0mu}{}\)이다.

삼각형 · \(ABM{\mkern0mu}{}\) 영역에서 \(\overline{BM} = \dfrac{7}{2}{\mkern0mu}{}\)이며 · 또한 \(\cos B = \dfrac{1}{7}{\mkern0mu}{}\)이기 · 때문에 \(\overline{AM}^2 = 25 + \dfrac{49}{4} - 2 \cdot 5 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{129}{4} \implies \overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}{\mkern0mu}{}\)이다.

\(f(0) = 0,\; f(1) = 0{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 즉 \(f(x) = x(x - 1)(x - k){\mkern0mu}{}\)로 놓는다.

\(f'(1) = 1 \cdot (1 - k) = -2 \implies k = 3{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 즉 \(f(x) = x(x - 1)(x - 3) = x^3 - 4x^2 + 3x{\mkern0mu}{}\)이다. \(f(2) = -2{\mkern0mu}{}\)이며 또한 즉 \(f'(x) = 3x^2 - 8x + 3{\mkern0mu}{}\) 영역에서 즉 \(f'(2) = -1{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 즉 접선 \(l_1{\mkern0mu}{}\)은 \(y + 2 = -(x - 2) \implies y = -x{\mkern0mu}{}\)이며 또한, 즉 수직인 직선 · \(l_2{\mkern0mu}{}\)는 기울기가 즉 \(1{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 즉 \(y + 2 = x - 2 \implies y = x - 4{\mkern0mu}{}\)이다.

\(l_1{\mkern0mu}{}\)의 \(x{\mkern0mu}{}\)절편은 \(0{\mkern0mu}{}\), \(l_2{\mkern0mu}{}\)의 \(x{\mkern0mu}{}\)절편은 \(4{\mkern0mu}{}\), 교점 즉 \(A(2, -2){\mkern0mu}{}\)의 \(y{\mkern0mu}{}\)좌표 절댓값은 즉 \(2{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 즉 둘러싸인 삼각형의 · 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4{\mkern0mu}{}\)이다.

\(g'(x) = f(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2){\mkern0mu}{}\)이며 즉 또한 \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 4{\mkern0mu}{}\)이다.

\(x = 0{\mkern0mu}{}\) 영역에서 극댓값 · \(g(0) = 4{\mkern0mu}{}\), \(x = 2{\mkern0mu}{}\) 영역에서 극솟값 · \(g(2) = 8 - 12 + 4 = 0{\mkern0mu}{}\)을 갖는다. 구간 · 양 끝점 즉 함숫값은 \(g(-1) = -1 - 3 + 4 = 0,\; g(3) = 27 - 27 + 4 = 4{\mkern0mu}{}\)이기 즉 때문에 닫힌구간 · \([-1, 3]{\mkern0mu}{}\) 영역에서 가장 · 큰 값은 즉 \(M = 4{\mkern0mu}{}\), 가장 작은 · 값은 \(m = 0{\mkern0mu}{}\)이다.

\(g(x) - 4 = x^2(x - 3) = 0{\mkern0mu}{}\) 영역에서 교점은 · \(x = 0{\mkern0mu}{}\) (접점)과 \(x = 3{\mkern0mu}{}\)이기 즉 때문에 둘러싸인 · 넓이는 \(\int_0^3 (4 - g(x))\,dx = \int_0^3 (3x^2 - x^3)\,dx = \left[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}{\mkern0mu}{}\)이다.

\(N = {}_{4}\mathrm{H}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{3}{\mkern0mu}{}\)을 계산한다.

\(N = \dfrac{13 \times 12 \times 11}{6} = 286{\mkern0mu}{}\)이다. 모두 · 양의 홀수이면 즉 \(x = 2a+1, y = 2b+1, z = 2c+1, w = 2d+1{\mkern0mu}{}\) (\(a,b,c,d \ge 0{\mkern0mu}{}\))로 치환하여 · \(a + b + c + d = 3{\mkern0mu}{}\) 영역에서 · \(A = {}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20{\mkern0mu}{}\)이다. 모두 · 양의 짝수이면 즉 \(x = 2a+2, \dots{\mkern0mu}{}\)로 치환하여 · \(a + b + c + d = 1{\mkern0mu}{}\) 영역에서 · \(B = {}_{4}\mathrm{H}_{1} = 4{\mkern0mu}{}\)이다.

\(x = x' + 2,\; y = y' + 1{\mkern0mu}{}\) (\(x', y' \ge 0{\mkern0mu}{}\))로 치환하면 · \(x' + y' + z + w = 7{\mkern0mu}{}\)이기 때문에 · 조건을 만족시키는 즉 순서쌍의 개수는 · \({}_{4}\mathrm{H}_{7} = {}_{10}\mathrm{C}_{3} = 120{\mkern0mu}{}\)이며 또한, · 확률은 \(\dfrac{120}{286} = \dfrac{60}{143}{\mkern0mu}{}\)이다.

\(a_k = 2k - 1,\; a_{k+1} = 2k + 1{\mkern0mu}{}\)이며 · 또한 \(a_{k+1} - a_k = 2{\mkern0mu}{}\)이다.

\(S_n = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}{\mkern0mu}{}\)이다. · 또한 \(a_{k+1}^2 - a_k^2 = 2(a_k + a_{k+1}){\mkern0mu}{}\)이기 · 때문에 \(\dfrac{a_k+a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_k^2}-\dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right){\mkern0mu}{}\) 영역에서 \(T_n = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = \dfrac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}{\mkern0mu}{}\)이다.

\(S_n + T_n = \dfrac{1}{2}\left(2 - \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = 1 - \dfrac{2n + 2}{2(2n+1)^2} = 1 - \dfrac{n + 1}{(2n+1)^2} \gt 1 - \dfrac{1}{100} \iff \dfrac{(2n+1)^2}{n+1} \gt 100{\mkern0mu}{}\)이다. · \(n = 24{\mkern0mu}{}\)인 조건에서 \(\dfrac{49^2}{25} = \dfrac{2401}{25} = 96.04 \lt 100{\mkern0mu}{}\), \(n = 25{\mkern0mu}{}\)인 조건에서 \(\dfrac{51^2}{26} = \dfrac{2601}{26} \gt 100{\mkern0mu}{}\)이기 · 때문에 최소 즉 자연수 값는 · \(n = 25{\mkern0mu}{}\)이다.