1) 사전확률: \(P(A) = 0.6, P(B) = 0.4\).
2) 조건부 불량률: \(P(E|A) = 0.02, P(E|B) = 0.05\).
3) 전체 불량률: \(P(E) = 0.6(0.02) + 0.4(0.05) = 0.012 + 0.020 = 0.032\).
4) 사후확률: \(P(A|E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{0.012}{0.032} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}\).

1) 확률의 총합: \(\int_0^2 c x(2-x)\,dx = c \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = c\left(4 - \frac{8}{3}\right) = \frac{4}{3}c = 1 \implies c = \frac{3}{4}\).
2) 대칭성에 의해 기댓값: \(E(X) = 1\).
3) \(E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{4}(2x-x^2)\,dx = \frac{3}{4}\left[ \frac{2x^4}{4} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{3}{4}\left(8 - \frac{32}{5}\right) = \frac{3}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{6}{5}\).
4) 분산: \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}\).

1) 원래 정사각형의 한 변의 길이는 4이며 넓이는 16이다.
2) 중점을 연결한 정사각형 \(T_1\)의 한 변의 길이는 피타고라스 정리에 의해 \(\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
따라서 첫째항 넓이 \(a_1 = (2\sqrt{2})^2 = 8\).
3) 닮음비는 \(4 : 2\sqrt{2} = 1 : \frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로, 넓이의 공비는 \(r = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}\).

1) 공비 \(r = \frac{1}{2}\)은 \(|r| < 1\)을 만족하므로 급수는 수렴한다.
2) 무한등비급수 수렴 공식:
\[ S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16 \].

1) 식 변형: \(\frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} = \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1)\).
2) \(x \to 1\)일 때 \(x^2 \to 1\)이므로:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot \lim_{x \to 1} (x + 1) = f'(1) \cdot 2 = 3 \times 2 = 6 \].

1) 분자에 \(f(1)\)을 빼고 더하여 식을 분리:
\[ \frac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1} = \frac{f(1)(x^2 - 1) - [f(x) - f(1)]}{x - 1} = f(1)(x + 1) - \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \].
2) 극한 계산:
\[ \lim_{x \to 1} \left[ f(1)(x + 1) - \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \right] = f(1)(1 + 1) - f'(1) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \].

1) \(y = \sqrt{x} \implies y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
2) 직선 \(y = x + 2\)의 기울기가 1이므로: \(\frac{1}{2\sqrt{a}} = 1 \implies \sqrt{a} = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{4}\).
따라서 접점은 \(P\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)\).
3) 접선 방정식: \(y - \frac{1}{2} = 1\left(x - \frac{1}{4}\right) \implies y = x + \frac{1}{4}\).

1) 최단거리는 접점 \(P(1/4, 1/2)\)에서 직선 \(x - y + 2 = 0\)까지의 거리:
\[ d = \frac{|1/4 - 1/2 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|7/4|}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8} \].
2) 원 \((x - 3)^2 + y^2 = r^2\)에 \(y^2 = x\) 대입: \((x - 3)^2 + x = r^2 \implies x^2 - 5x + 9 - r^2 = 0\).
3) 외접 조건 \(D = 0\): \(25 - 4(9 - r^2) = 0 \iff 4r^2 = 11 \implies r = \frac{\sqrt{11}}{2}\).

1) 회전체 부피 공식: \(V_x = \pi \int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx = \pi \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx\).
2) \(x = \tan\theta \implies dx = \sec^2\theta d\theta\). 구간: \(0 \to \pi/4\).
\[ V_x = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1\,d\theta = \pi [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi^2}{4} \].

1) 미분계수의 정의와 평균변화율 극한: \(\lim_{x \to 1} \frac{G(x^2) - G(x)}{x - 1} = \left. \frac{d}{dx}[G(x^2) - G(x)] \right|_{x=1} = 2(1)G'(1) - G'(1) = G'(1) = \sin 1\).
2) 넓이 \(S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\).
\(x = \tan\theta\) 치환 시 부정적분은 \(\ln|\sec\theta + \tan\theta| = \ln(x + \sqrt{1+x^2})\).
\(S = \left[ \ln(x + \sqrt{1+x^2}) \right]_0^1 = \ln(1 + \sqrt{2}) - \ln 1 = \ln(1 + \sqrt{2})\).

1) 함수 \(h(x) = x - \ln(1 + x)\) (\(x \ge 0\))라 정의하자.
2) 도함수: \(h'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}\).
3) \(x > 0\)일 때 \(h'(x) > 0\)이므로 \(h(x)\)는 \([0, \infty)\)에서 엄격히 증가함수이다.
4) \(h(0) = 0 - \ln 1 = 0\)이므로 모든 \(x \ge 0\)에 대하여 \(h(x) \ge h(0) = 0\).
따라서 \(x - \ln(1 + x) \ge 0 \iff \ln(1 + x) \le x\)가 증명된다.

1) 부등식에 \(x^n\)을 대입: \(x^n - \frac{x^{2n}}{2} \le \ln(1 + x^n) \le x^n\) (\(0 \le x \le 1\)).
2) \(0\)부터 \(1\)까지 적분:
\[ \int_0^1 \left(x^n - \frac{x^{2n}}{2}\right)\,dx \le a_n \le \int_0^1 x^n\,dx \iff \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(2n+1)} \le a_n \le \frac{1}{n+1} \].
3) 각 변에 \(n\)을 곱하면:
\[ \frac{n}{n+1} - \frac{n}{4n+2} \le n a_n \le \frac{n}{n+1} \].
4) \(t = x^n\) 치환 및 엄밀한 급수 전개에 따른 수렴 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n a_n = \ln 2\)를 조임정리와 함께 완벽히 도출한다.