[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15551 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]
【문항 1】 베이즈 정리와 연속확률밀도함수 [15.0점]
[확률과 통계]
두 공장 \(A, B\)의 불량률은 \(2\%, 5\%\)이고 생산비율은 \(60\%, 40\%\)이다. 구간 \([0, 2]\)의 확률밀도함수는 \(f(x) = c x(2-x)\)이다.
[1-1] 불량품이 공장 \(A\) 제품일 조건부확률을 구하시오. (7.0점)
[1-2] 상수 \(c\)의 값과 분산 \(V(X)\)를 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15552 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]
【문항 2】 수열의 극한과 도형의 무한등비급수 [15.0점]
[수학I / 미적분]
한 변의 길이가 4인 정사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 정사각형을 \(T_1\)이라 하고 이 과정을 반복하여 얻은 정사각형들의 넓이의 합을 \(S\)라 하자.
[2-1] 첫 번째 정사각형 \(T_1\)의 넓이와 공비를 구하시오. (7.0점)
[2-2] 무한등비급수의 합 \(S\)를 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 15553 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
【문항 3】 미분계수의 정의와 영인자 인수분해 극한 [15.0점]
[수학II / 미적분]
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 2, f'(1) = 3\)을 만족한다.
[3-1] 극한값 \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1}\)의 값을 구하시오. (7.0점)
[3-2] 극한값 \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1}\)의 값을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15554 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]
【문항 4】 평행접선과 두 곡선 최단거리 및 원의 외접 [15.0점]
[수학II / 미적분]
곡선 \(y = \sqrt{x}\)와 직선 \(y = x + 2\) 및 중심이 \((3, 0)\)인 원이 있다.
[4-1] 직선과 평행한 접선의 접점 \(P\)의 좌표와 접선 방정식을 구하시오. (7.0점)
[4-2] 곡선과 직선 사이의 최단거리 및 원이 곡선과 외접할 때의 반지름 \(r\)을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15555 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 5】 회전체의 부피와 라이프니츠 미분 및 삼각치환 [20.0점]
[미적분 : 적분법]
함수 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)과 영역 \(D\) (\(0 \le x \le 1\)) 및 \(G(x) = \int_1^x \frac{\sin t}{t} dt\)가 있다.
[5-1] 영역 \(D\)를 \(x\)축 둘레로 1회전한 부피 \(V_x\)를 구하시오. (10.0점)
[5-2] 극한값 \(\lim_{x \to 1} \frac{G(x^2) - G(x)}{x - 1}\)과 영역의 넓이 \(S\)를 구하시오. (10.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15556 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【문항 6】 정적분 부등식 증명과 조임정리 극한 [20.0점]
[미적분 : 심화 융합]
모든 실수 \(x \ge 0\)에 대하여 부등식 \(x - \frac{x^2}{2} \le \ln(1+x) \le x\)가 성립함을 증명하고, 수열 \(a_n = \int_0^1 \ln(1 + x^n)\,dx\)의 극한을 조사하시오.
[6-1] 함수의 증감을 이용하여 부등식 \(\ln(1+x) \le x\) (\(x \ge 0\))을 증명하시오. (10.0점)
[6-2] 조임정리(샌드위치 정리)를 이용하여 \(\lim_{n \to \infty} n a_n\)의 값을 구하시오. (10.0점)