1) 점화식 양변의 역수를 취하면:
\[ \frac{1}{b_{n+1}} = \frac{1 + 2b_n}{b_n} = \frac{1}{b_n} + 2 \].
2) 수열 \(\{\frac{1}{b_n}\}\)은 첫째항이 \(\frac{1}{b_1} = 1\), 공차가 2인 등차수열이다.
3) \(\frac{1}{b_n} = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1 \implies b_n = \frac{1}{2n - 1}\).

1) 일반항의 곱: \(b_n b_{n+1} = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}\).
2) 부분분수 분해: \(\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)\).
3) 제 \(N\)항까지의 부분합 \(S_N\):
\[ S_N = \frac{1}{2}\left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2N - 1} - \frac{1}{2N + 1}\right) \right] = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2N + 1}\right) \].
4) 극한: \(\sum_{n=1}^\infty b_n b_{n+1} = \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}\).

1) 탄젠트 덧셈정리 공식: \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}\).
2) 대입: \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 3}{1 - (2)(3)} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1\).

1) \(\tan\alpha = 2\)이므로 직각삼각형에서 빗변은 \(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\).
\(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\) (또는 부호 일치).
2) 코사인 배각공식: \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = \frac{2}{5} - 1 = -\frac{3}{5}\).
3) 사인 배각공식: \(\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{4}{5}\).

1) 확률의 총합은 1이므로:
\[ \sum_{k=1}^4 P(X=k) = c(1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1 \implies c = \frac{1}{10} \].
2) 기댓값 \(E(X)\):
\[ E(X) = \sum_{k=1}^4 k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^4 c k^2 = \frac{1}{10}(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3 \].

1) 제곱의 평균 \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = \sum_{k=1}^4 k^2 P(X=k) = \frac{1}{10}(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = \frac{100}{10} = 10 \].
2) 분산 \(V(X)\): \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1\).
3) 분산의 성질 \(V(aX+b) = a^2 V(X)\)에 의해:
\[ V(2X - 3) = 2^2 V(X) = 4 \times 1 = 4 \].

1) 1계 도함수: \(f'(x) = (2x - 2)e^{-x} - (x^2 - 2x)e^{-x} = (-x^2 + 4x - 2)e^{-x}\).
2) 2계 도함수: \(f''(x) = (-2x + 4)e^{-x} - (-x^2 + 4x - 2)e^{-x} = (x^2 - 6x + 6)e^{-x}\).
3) \(f''(x) = 0 \iff x^2 - 6x + 6 = 0 \implies x = 3 \pm \sqrt{3}\).
이 두 점에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 \(x\)좌표는 \(3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}\)이다.

1) \(f'(x) = 0 \iff x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2}\).
- 극솟값: \(t_1 = f(2-\sqrt{2}) < 0\)
- 극댓값: \(t_2 = f(2+\sqrt{2}) > 0\)
2) 극한: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\).
3) \(N(t)\)의 변화:
\(t < t_1\): 0개 / \(t = t_1\): 1개 / \(t_1 \lt t \lt 0\): 2개 / \(t = 0\): 2개 / \(0 \lt t \lt t_2\): 3개 / \(t = t_2\): 2개 / \(t > t_2\): 1개.
따라서 \(N(t)\)가 불연속이 되는 \(t\)는 \(t = f(2-\sqrt{2}), 0, f(2+\sqrt{2})\)이다.

1) \(f(0) = 0, f(1) = 1^3 + 2(1) = 3\)이므로 \(g(0) = 0, g(3) = 1\).
2) 역함수와 원함수의 기하학적 정적분 관계식:
\[ \int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^3 g(x)\,dx = 1 \times 3 = 3 \].
3) 원함수 정적분: \(\int_0^1 (x^3 + 2x)\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).
4) 역함수 정적분: \(\int_0^3 g(x)\,dx = 3 - \frac{5}{4} = \frac{7}{4}\).

1) \(I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx\). 부분적분: \(u = x^n \implies u' = n x^{n-1}, v' = e^x \implies v = e^x\).
\[ I_n = \left[ x^n e^x \right]_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x\,dx = e - n I_{n-1} \quad (n \ge 1) \].
2) 구간 \([0, 1]\)에서 \(x^n \le x^n e^x \le e x^n \implies \frac{1}{n+1} \le I_n \le \frac{e}{n+1}\).
조임정리에 의해 \(\lim_{n \to \infty} I_n = 0\).
3) 점화식에서 \(n I_{n-1} = e - I_n \implies \lim_{n \to \infty} n I_n = \lim_{n \to \infty} (e - I_{n+1}) = e - 0 = e\).

1) 구간 \([0, 3]\)에서 \(y = (x + 1)^{-1/2} > 0\)이므로 넓이는:
\[ S = \int_0^3 (x + 1)^{-1/2}\,dx \].
2) 부정적분: \(\int (x + 1)^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x + 1}\).
3) 계산: \(S = \left[ 2\sqrt{x + 1} \right]_0^3 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2\).

1) 회전체 부피 공식:
\[ V_x = \pi \int_0^3 \{y(x)\}^2\,dx = \pi \int_0^3 \left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)^2\,dx = \pi \int_0^3 \frac{1}{x+1}\,dx \].
2) 부정적분: \(\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x + 1|\).
3) 계산: \(V_x = \pi \left[ \ln(x + 1) \right]_0^3 = \pi (\ln 4 - \ln 1) = \pi \ln 4 = 2\pi \ln 2\).