[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15541 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
【문항 1】 등비수열의 극한과 점화식 무한급수 [15.0점]
[수학I / 수학II]
등비수열 \(\{a_n\}\)의 합 \(S_n\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} \frac{S_{2n}}{S_n} = 1 + r^n\)이고, \(b_1 = 1, b_{n+1} = \frac{b_n}{1 + 2b_n}\)이다.
[1-1] 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항을 구하시오. (7.0점)
[1-2] 급수 \(\sum_{n=1}^\infty b_n b_{n+1}\)의 합을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15542 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
【문항 2】 삼각함수의 덧셈정리와 배각공식 [15.0점]
[미적분 : 삼각함수]
\(\tan\alpha = 2, \tan\beta = 3\)일 때 다음 값을 구하시오.
[2-1] \(\tan(\alpha + \beta)\)의 값을 구하시오. (7.0점)
[2-2] \(\cos(2\alpha)\)와 \(\sin(2\alpha)\)의 값을 각각 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 15543 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-06]
【문항 3】 이산확률변수의 평균과 분산 [15.0점]
[확률과 통계]
확률변수 \(X\)의 확률분포가 \(P(X=k) = c k\) (\(k=1, 2, 3, 4\))이다.
[3-1] 상수 \(c\)의 값과 \(E(X)\)의 값을 구하시오. (7.0점)
[3-2] 분산 \(V(X)\)와 \(V(2X - 3)\)의 값을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 15544 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
【문항 4】 변곡점과 합성함수 미분 및 실근 개수 [15.0점]
[수학II / 미적분]
함수 \(f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}\)에 대하여 방정식 \(f(x) = t\)의 실근 개수를 \(N(t)\)라 하자.
[4-1] 함수 \(f(x)\)의 두 변곡점의 \(x\)좌표를 구하시오. (7.0점)
[4-2] 실근 개수 함수 \(N(t)\)가 불연속이 되는 모든 \(t\)의 값을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15545 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【문항 5】 역함수 정적분과 부분적분 점화식 [20.0점]
[미적분 : 적분법]
함수 \(f(x) = x^3 + 2x\)의 역함수 \(g(x)\)와 \(I_n = \int_0^1 x^n e^x dx\)가 있다.
[5-1] 정적분 \(\int_0^3 g(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (10.0점)
[5-2] 점화식 \(I_n = e - n I_{n-1}\)을 유도하고 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\)의 값을 구하시오. (10.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15546 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 6】 치환적분법을 이용한 회전체 부피 [20.0점]
[미적분 : 심화 융합]
곡선 \(y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}\)과 \(x\)축 및 두 직선 \(x=0, x=3\)으로 둘러싸인 영역을 \(D\)라 하자.
[6-1] 영역 \(D\)의 넓이를 구하시오. (10.0점)
[6-2] 영역 \(D\)를 \(x\)축 둘레로 1회전시킨 회전체의 부피 \(V_x\)를 구하시오. (10.0점)