1) 사인법칙: \(\frac{\overline{AB}}{\sin 45^\circ} = 2R \implies \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 4 = 2R \implies R = 2\).
2) 밑변 \(AB\)가 고정되어 있으므로 넓이가 최대가 되려면 점 \(C\)가 선분 \(AB\)의 수직이등분선 위에 있어야 하며, 삼각형 \(ABC\)는 \(\overline{CA} = \overline{CB} = a\)인 이등변삼각형이다.
3) 제이코사인법칙: \(\overline{AB}^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos 45^\circ = 2a^2 - \sqrt{2}a^2 = (2-\sqrt{2})a^2\).
\(8 = (2-\sqrt{2})a^2 \implies a^2 = \frac{8}{2-\sqrt{2}} = 4(2+\sqrt{2})\).
따라서 \(\overline{BC} = a = 2\sqrt{2+\sqrt{2}}\).

1) \(M=3\)인 사건: 3은 반드시 뽑히고 나머지 2개는 \(\{4, 5, 6, 7, 8\}\) (5개) 중에서 선택된다.
경우의 수: \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\).
2) 세 수의 합이 짝수가 되는 조건: 3이 홀수이므로 나머지 두 수의 합이 홀수이어야 한다 (짝수 1개, 홀수 1개).
\(\{4, 6, 8\}\) 중 1개 선택, \(\{5, 7\}\) 중 1개 선택: \({}_3\mathrm{C}_1 \times {}_2\mathrm{C}_1 = 3 \times 2 = 6\).
3) 조건부확률: \(P(\text{합 짝수} \mid M=3) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).

1) 점화식 변형: \(a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha) \implies \alpha = 3\alpha - 2 \implies \alpha = 1\).
2) \(a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)\).
수열 \(\{a_n - 1\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 1 = 2 - 1 = 1\), 공비가 3인 등비수열이다.
3) \(a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1} + 1\).

명제 \(P(n): a_n = 3^{n-1} + 1\)이라 하자.
1) \(n = 1\)일 때: \(a_1 = 3^{1-1} + 1 = 3^0 + 1 = 2\)이므로 주어진 초기조건과 일치하여 \(P(1)\)은 참이다.
2) \(n = k\)일 때 \(P(k)\)가 참이라고 가정하면, \(a_k = 3^{k-1} + 1\)이다.
\(n = k + 1\)일 때, 주어진 점화식에 대입하면:
\[ a_{k+1} = 3 a_k - 2 = 3(3^{k-1} + 1) - 2 = 3^k + 3 - 2 = 3^{(k+1)-1} + 1 \].
따라서 \(n = k + 1\)일 때도 명제 \(P(k+1)\)이 성립한다.
1), 2)에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 3^{n-1} + 1\)이 성립한다.

1) 함수값 계산: \(f(0) = 1\), \(f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3\).
2) 닫힌구간 \([0, 2]\)에서의 평균변화율:
\[ \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \].

1) 함수 \(f(x)\)는 다항함수이므로 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 연속이고 열린구간 \((0, 2)\)에서 미분가능하다.
2) 평균값 정리에 의해 \(f'(c) = 1\)을 만족하는 \(c \in (0, 2)\)가 적어도 하나 존재한다.
3) \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이므로: \(3c^2 - 3 = 1 \iff 3c^2 = 4 \iff c^2 = \frac{4}{3}\).
4) \(c > 0\)이므로 \(c = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).
\(0 < \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 < 2\)이므로 열린구간 \((0, 2)\)에 속한다.

1) 몫의 미분법: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}\).
2) \(f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\).
- \(0 \lt x \lt e\): \(f'(x) > 0\) (증가)
- \(x > e\): \(f'(x) < 0\) (감소)
따라서 \(x = e\)에서 유일한 극대이자 최댓값 \(f(e) = \frac{1}{e}\)을 갖는다.
3) 모든 \(x > 0\)에 대하여 \(f(x) \le f(e) \iff \frac{\ln x}{x} \le \frac{1}{e}\).
양변에 \(ex > 0\)을 곱하면 \(e\ln x \le x \iff \ln(x^e) \le x\).
자연밑 \(e\)의 지수를 취하면 \(x^e \le e^x \iff e^x \ge x^e\)가 증명된다.

1) 접점의 좌표를 \((t, \frac{\ln t}{t})\)라 두면, 접선의 기울기는 \(f'(t) = \frac{1 - \ln t}{t^2}\).
2) 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로 평균변화율과 순간변화율이 일치한다:
\[ \frac{\frac{\ln t}{t} - 0}{t - 0} = \frac{1 - \ln t}{t^2} \iff \frac{\ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln t}{t^2} \iff 2\ln t = 1 \iff \ln t = \frac{1}{2} \implies t = \sqrt{e} \].
3) 접선의 기울기: \(f'(\sqrt{e}) = \frac{1 - 1/2}{(\sqrt{e})^2} = \frac{1}{2e}\).
따라서 구하는 접선의 방정식은 \(y = \frac{1}{2e}x\)이다.

1) 매개변수 미분:
\(x'(t) = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)\),
\(y'(t) = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)\).
2) 속력(피적분함수) 계산:
\[ \{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 = e^{2t}[(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2] = e^{2t}[2(\cos^2 t + \sin^2 t)] = 2e^{2t} \].
따라서 \(\sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2} = \sqrt{2}e^t\).
3) 호의 길이 적분:
\[ L = \int_0^\pi \sqrt{2}e^t\,dt = \sqrt{2}\left[ e^t \right]_0^\pi = \sqrt{2}(e^\pi - 1) \].

1) \(F(x) = \int_0^x (t^2 - 1)e^t\,dt\).
2) 1차 부분적분: \(u = t^2 - 1 \implies u' = 2t\), \(v' = e^t \implies v = e^t\).
\[ \int (t^2 - 1)e^t\,dt = (t^2 - 1)e^t - \int 2t e^t\,dt \].
3) 2차 부분적분: \(\int t e^t\,dt = t e^t - e^t\).
부정적분: \((t^2 - 1)e^t - 2(t - 1)e^t = (t^2 - 2t + 1)e^t = (t - 1)^2 e^t\).
4) 적분 구간 \([0, x]\) 대입:
\[ F(x) = \left[ (t - 1)^2 e^t \right]_0^x = (x - 1)^2 e^x - (0 - 1)^2 e^0 = (x - 1)^2 e^x - 1 \].

1) 양변을 \(x\)에 관하여 미분: \(\frac{2x}{4} + 2y y' = 0 \iff \frac{x}{2} + 2y y' = 0 \implies y' = -\frac{x}{4y}\).
2) 접선의 기울기가 1이므로: \(-\frac{x}{4y} = 1 \iff x = -4y\).
3) 타원 방정식 대입: \(\frac{(-4y)^2}{4} + y^2 = 1 \iff 4y^2 + y^2 = 1 \iff 5y^2 = 1 \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}\).
접점: \(P_1\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\), \(P_2\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\).
4) 접선 방정식: \(y - y_1 = 1(x - x_1) \implies y = x \pm \sqrt{5}\).

1) 직선 \(y = x + 3\)과 가장 가까운 접선은 \(y = x + \sqrt{5}\)이다 (절편 차가 최소).
2) 평행한 두 직선 \(x - y + 3 = 0\)과 \(x - y + \sqrt{5} = 0\) 사이의 거리 공식:
\[ d = \frac{|3 - \sqrt{5}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{(3 - \sqrt{5})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} \].