[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15531 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
【문항 1】 외접원 사인·코사인법칙과 조건부확률 [15.0점]
[수학I / 확률과 통계]
반지름의 길이가 2인 원에 내접하는 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB} = 2\sqrt{2}, \angle C = 45^\circ\)이다. 1부터 8까지의 공 중 3개를 꺼낼 때 최솟값을 \(M\)이라 하자.
[1-1] 삼각형의 넓이가 최대일 때의 \(\overline{BC}\)의 길이를 구하시오. (7.0점)
[1-2] \(M=3\)일 때 꺼낸 세 수의 합이 짝수일 조건부확률을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 15532 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
【문항 2】 수열의 점화식과 수학적 귀납법 [15.0점]
[수학I : 수열]
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2\)를 만족한다.
[2-1] 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오. (7.0점)
[2-2] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 3^{n-1} + 1\)임을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15533 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]
【문항 3】 다항함수의 연속성과 평균값 정리 [15.0점]
[수학II : 함수의 극한/미분]
함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 평균값 정리를 만족하는 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
[3-1] 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 평균변화율을 구하시오. (7.0점)
[3-2] 평균값 정리를 만족하는 열린구간 \((0, 2)\)에 속하는 \(c\)의 값을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15534 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
【문항 4】 초월함수 극값과 부등식 증명 [15.0점]
[미적분 : 미분법]
함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\) (\(x>0\))에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하고 부등식 \(e^x \ge x^e\)이 성립함을 증명하시오. (8.0점)
[4-2] 원점에서 곡선 \(y=f(x)\)에 그은 접선의 방정식을 구하시오. (7.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15535 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 5】 매개변수 곡선의 호의 길이와 정적분 함수 [20.0점]
[미적분 : 적분법]
매개변수 곡선 \(x(t) = e^t\cos t, y(t) = e^t\sin t\) (\(0 \le t \le \pi\))와 \(F(x) = \int_0^x (t^2-1)e^t dt\)가 있다.
[5-1] 곡선의 호의 길이 \(L\)을 구하시오. (10.0점)
[5-2] 부분적분법을 이용하여 \(F(x)\)를 정적분 기호 없이 나타내시오. (10.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 15536 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]
【문항 6】 음함수 미분법과 두 곡선 사이의 거리 [20.0점]
[미적분 : 심화 융합]
타원 \(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\) 위의 점 \(P\)에서의 접선과 직선 \(y = x + 3\) 사이의 거리를 최소화하려 한다.
[6-1] 음함수 미분법을 이용하여 기울기가 1인 접선의 방정식을 모두 구하시오. (10.0점)
[6-2] 타원 위의 점과 직선 \(y = x + 3\) 사이의 최단거리를 구하시오. (10.0점)