1) 앞면이 나온 횟수를 \(k\) (\(0 \le k \le 5\))라 하면, 뒷면이 나온 횟수는 \(5 - k\)이다.
2) 5회 이동 후 점 \(P\)의 위치 관계식: \(S_5 = 2k + (-1)(5 - k) = 3k - 5\).
3) \(S_5 = 4\)이므로 \(3k - 5 = 4 \iff 3k = 9 \iff k = 3\). 즉 앞면이 정확히 3회 나와야 한다.
4) 독립시행의 확률 공식에 의해:
\[ P(S_5 = 4) = {}_5\mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16} \].

1) \(n\)회 시행 중 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\)라 하면, \(X\)는 이항분포 \(B\left(n, \frac{1}{2}\right)\)을 따른다.
2) 이항분포의 평균과 분산: \(E(X) = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\), \(V(X) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}\).
3) 점 \(P\)의 좌표 \(S_n\)은 앞면 \(X\)회, 뒷면 \(n - X\)회이므로: \(S_n = 2X - 1(n - X) = 3X - n\).
4) 기댓값의 선형성: \(E(S_n) = E(3X - n) = 3E(X) - n = 3\left(\frac{n}{2}\right) - n = \frac{n}{2}\).
5) 분산의 성질: \(V(S_n) = V(3X - n) = 3^2 V(X) = 9 \cdot \frac{n}{4} = \frac{9n}{4}\).

1) \(2^x = t\)로 치환하면, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(t > 0\)이다.
2) 주어진 부등식은: \(t^2 - 4t + k \ge 0 \iff (t - 2)^2 + k - 4 \ge 0\).
3) 이차함수 \(g(t) = (t - 2)^2 + k - 4\)의 축은 \(t = 2\)이며, 이는 정의역 \(t > 0\)에 포함된다.
4) 따라서 \(t > 0\)에서 \(g(t)\)의 최솟값은 \(g(2) = k - 4\)이다.
5) 모든 \(t > 0\)에 대하여 \(g(t) \ge 0\)이 성립할 필요충분조건은 \(k - 4 \ge 0 \implies k \ge 4\).
따라서 실수 \(k\)의 최솟값은 4이다.

1) 등차수열의 첫째항 \(a_1 = 3\), 공차 \(d = 4\)이므로 제 \(n\)항까지의 부분합 공식:
\[ S_n = \frac{n[2(3) + (n - 1)4]}{2} = \frac{n(4n + 2)}{2} = n(2n + 1) = 2n^2 + n \].
2) 부등식 \(2n^2 + n > 200 \iff 2n^2 + n - 200 > 0\).
3) 자연수 대입 조사:
- \(n = 9\): \(2(81) + 9 = 162 + 9 = 171 \le 200\).
- \(n = 10\): \(2(100) + 10 = 200 + 10 = 210 > 200\).
따라서 조건을 만족하는 자연수 \(n\)의 최솟값은 10이다.

1) 상자 \(A, B\)를 택할 확률은 각각 \(P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{2}\)이다.
2) 각 상자에서 흰 공(\(W\))을 꺼낼 조건부확률:
\(P(W|A) = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}\), \(P(W|B) = \frac{2}{2 + 4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
3) 전확률 정리(Law of Total Probability)에 의해:
\[ P(W) = P(A)P(W|A) + P(B)P(W|B) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{9 + 5}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \].

1) 흰 공이 나왔을 때 상자 \(A\)였을 사후 조건부확률 \(P(A|W)\)는 베이즈 정리에 의해:
\[ P(A|W) = \frac{P(A \cap W)}{P(W)} = \frac{P(A)P(W|A)}{P(W)} \].
2) 분자: \(P(A \cap W) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}\).
3) 분모: \(P(W) = \frac{7}{15}\).
4) 계산: \(P(A|W) = \frac{3/10}{7/15} = \frac{3}{10} \times \frac{15}{7} = \frac{9}{14}\).

1) \(f'(x) = 3x^2 - 3, f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0\). 변곡점은 \((0, 0)\).
2) 변곡점에서의 접선: \(y - 0 = f'(0)(x - 0) \implies y = -3x\).
3) 곡선 위의 점 \((t, t^3-3t)\)에서의 접선: \(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\).
점 \((0, k)\) 대입: \(k - (t^3 - 3t) = -3t^3 + 3t \implies k = -2t^3\).
\(t\)에 관한 삼차방정식 \(2t^3 + k = 0\)이 서로 다른 3개의 접점을 갖기 위해서는 변곡접선 바깥 영역인 \(k \ne 0\)이어야 한다.

1) \(g(1) = 1 + \ln 1 = 1\)이므로 역함수 정의에 의해 \(h(1) = 1\)이다.
2) \(g'(x) = 1 + \frac{1}{x} \implies g'(1) = 2\).
3) 역함수 미분법 공식: \(h'(1) = \frac{1}{g'(h(1))} = \frac{1}{g'(1)} = \frac{1}{2}\).
4) 점 \((1, 1)\)에서의 접선: \(y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).

1) 치환: \(x = \sin\theta\) (\(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\))로 두면, \(dx = \cos\theta\,d\theta\).
2) 적분 구간: \(x=0 \to \theta=0\), \(x=1 \to \theta=\frac{\pi}{2}\).
3) \(\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta\) (\(\cos\theta \ge 0\)).
4) 정적분 계산:
\[ \int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta\,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} \].

1) \(x\)에서의 단면은 한 변의 길이가 \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\)인 정사각형이다.
2) 단면적 함수: \(A(x) = \{f(x)\}^2 = 1 - x^2\).
3) 입체도형의 부피 \(V\)는 단면적의 정적분이다:
\[ V = \int_0^1 A(x)\,dx = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \].

1) 도함수: \(f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}\).
2) \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) 또는 \(x = 2\).
- \(x < 0\): \(f'(x) < 0\) (감소)
- \(0 \lt x \lt 2\): \(f'(x) > 0\) (증가) \(\implies x=0\)에서 극솟값 \(f(0) = 0\).
- \(x > 2\): \(f'(x) < 0\) (감소) \(\implies x=2\)에서 극댓값 \(f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}\).
3) 극한 조사: \(\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = 0\), \(\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = \infty\).
곡선은 \(x\)축(\(=0\))을 점근선으로 가진다.

그래프와 수평선 \(y=t\)의 교점 개수 \(g(t)\):
1) \(t < 0\): \(g(t) = 0\)
2) \(t = 0\): \(g(t) = 1\) (\(x=0\))
3) \(0 \lt t \lt \frac{4}{e^2}\): \(g(t) = 3\)
4) \(t = \frac{4}{e^2}\): \(g(t) = 2\)
5) \(t > \frac{4}{e^2}\): \(g(t) = 1\)
따라서 함수 \(g(t)\)가 불연속이 되는 모든 \(t\)의 값은 \(t = 0, \frac{4}{e^2}\)이다.