[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15521 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]
【문항 1】 독립시행의 확률과 점의 이동 및 기댓값 [15.0점]
[수학I / 확률과 통계]
수직선 위의 원점 \(O\)에 놓인 점 \(P\)가 있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 양의 방향으로 2만큼, 뒷면이 나오면 음의 방향으로 1만큼 이동한다. 동전을 \(n\)번 던진 후 점 \(P\)의 좌표를 \(S_n\)이라 하자. (단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 \(\frac{1}{2}\)이다.)
[1-1] 동전을 5번 던졌을 때, 점 \(P\)의 좌표가 \(S_5 = 4\)가 될 확률을 구하시오. (7.0점)
[1-2] 동전을 \(n\)번 던진 후 점 \(P\)의 좌표 \(S_n\)의 기댓값 \(E(S_n)\)과 분산 \(V(S_n)\)을 \(n\)에 관한 식으로 나타내시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15522 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
【문항 2】 지수부등식과 등차수열의 합 [15.0점]
[수학I : 지수함수/수열]
모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(4^x - 2^{x+2} + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하고, 첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 합을 \(S_n\)이라 하자.
[2-1] 주어진 지수부등식이 항상 성립하기 위한 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오. (7.0점)
[2-2] 부등식 \(S_n > 200\)을 만족하는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15523 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통02-04]
【문항 3】 조건부확률과 베이즈 정리 기초 [15.0점]
[확률과 통계]
상자 \(A\)에는 흰 공 3개와 검은 공 2개, 상자 \(B\)에는 흰 공 2개와 검은 공 4개가 들어 있다. 임의로 하나의 상자를 택하여 공 1개를 꺼냈더니 흰 공이었다.
[3-1] 꺼낸 공이 흰 공일 전체 확률을 구하시오. (7.0점)
[3-2] 꺼낸 흰 공이 상자 \(A\)에서 나왔을 조건부확률을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15524 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
【문항 4】 접선의 개수와 역함수의 미분법 [15.0점]
[수학II / 미적분]
함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 변곡점에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 양의 실수에서 정의된 함수 \(g(x) = x + \ln x\)의 역함수를 \(h(x)\)라 하자.
[4-1] 변곡점에서의 접선 \(l\)의 방정식과 점 \((0, k)\)에서 곡선에 그을 수 있는 접선의 개수가 3개가 되는 \(k\)의 범위를 구하시오. (7.0점)
[4-2] 역함수 \(h(x)\)에 대하여 \(h'(1)\)의 값을 구하고 점 \((1, h(1))\)에서의 접선 방정식을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15525 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 5】 삼각치환과 입체도형의 부피 [20.0점]
[미적분 : 적분법]
닫힌구간 \([0, 1]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\)에 대하여 밑면이 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축, \(y\)축, 직선 \(x=1\)로 둘러싸이고 \(x\)축에 수직인 단면이 모두 정사각형인 입체도형을 \(V\)라 하자.
[5-1] 삼각치환법을 이용하여 정적분 \(\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx\)의 값을 구하시오. (10.0점)
[5-2] 입체도형 \(V\)의 부피를 구하시오. (10.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15526 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
【문항 6】 초월함수 개형과 실근 개수 함수 [20.0점]
[미적분 : 심화 융합]
함수 \(f(x) = x^2 e^{-x}\)와 실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(f(x) = t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 하자.
[6-1] 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, 점근선을 고려하여 개형을 논술하시오. (10.0점)
[6-2] 실근의 개수 함수 \(g(t)\)를 \(t\)의 범위에 따라 구하고 불연속점을 모두 찾으시오. (10.0점)