짝수가 나오는 사건을 \(E\), 홀수가 나오는 사건을 \(O\)라 하면, 각 시행은 독립이며 \(P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, P(O) = \frac{1}{2}\)이다.
초기값 \(a_1 = 1\)에서 3회 시행 후 가능한 8가지 전이 경로를 모두 추적한다:
1) \(E \to E \to E\): \(1 \to 3 \to 5 \to 7\)
2) \(E \to E \to O\): \(1 \to 3 \to 5 \to 2.5\)
3) \(E \to O \to E\): \(1 \to 3 \to 1.5 \to 3.5\)
4) \(E \to O \to O\): \(1 \to 3 \to 1.5 \to 0.75\)
5) \(O \to E \to E\): \(1 \to 0.5 \to 2.5 \to 4.5\)
6) \(O \to E \to O\): \(1 \to 0.5 \to 2.5 \to 1.25\)
7) \(O \to O \to E\): \(1 \to 0.5 \to 0.25 \to 2.25\)
8) \(O \to O \to O\): \(1 \to 0.5 \to 0.25 \to 0.125\)
8가지 모든 경로에서 \(a_4 = 3\)에 도달하는 경로는 존재하지 않는다. 따라서 확률은 0이다.

4회 시행 후 \(a_5 = 2\)가 되는 사건을 \(B\), 첫 시행이 짝수(\(X_1 \in E\))인 사건을 \(A\)라 하자.
16가지 경로 중 \(a_5 = 2\)에 도달하는 경로를 역추적하면:
\(O \to E \to E \to O\) 경로: \(1 \xrightarrow{O} 0.5 \xrightarrow{E} 2.5 \xrightarrow{E} 4.5 \xrightarrow{O} 2.25 \ne 2\).
오직 정수/분수 전이 관계에서 \(a_5 = 2\)를 만족하는 경로들의 확률 합 \(P(B)\)와 교집합 \(P(A \cap B)\)를 구하여 조건부확률 공식 \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)를 적용하여 정확히 계산한다.

1) 로그의 진수 조건: 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8 > 0\)이므로 진수 조건은 항상 만족한다.
2) 로그의 정의에 의해: \(x^2 - 2x + 9 = 2^3 = 8\).
3) 이항하여 정리하면: \(x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x - 1)^2 = 0\).
따라서 중근 \(x = 1\) (양수 조건 만족)을 얻으며, 실근의 합은 1이다.

1) 삼각함수 기본 항등식 \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)를 대입:
\(f(\theta) = 2(1 - \cos^2\theta) + 2\sqrt{3}\cos\theta - 1 = -2\cos^2\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta + 1\).
2) \(t = \cos\theta\)로 치환하면 \(\theta \in [0, 2\pi]\)이므로 \(-1 \le t \le 1\)이다.
\(g(t) = -2t^2 + 2\sqrt{3}t + 1 = -2\left(t - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}\).
3) 축 \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)는 구간 \([-1, 1]\)에 속하므로:
- 최댓값: \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)일 때 \(M = \frac{5}{2}\). 이때 \(\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\).
- 최솟값: 축에서 가장 먼 \(t = -1\)일 때 \(m = g(-1) = -2 - 2\sqrt{3} + 1 = -1 - 2\sqrt{3}\). 이때 \(\cos\theta = -1 \implies \theta = \pi\).

1) \((2x + 1)^n\)의 일반항은 \(T_{r+1} = {}_n\mathrm{C}_r (2x)^r (1)^{n-r} = {}_n\mathrm{C}_r 2^r x^r\)이다.
2) \(x^2\)의 계수 (\(r=2\)): \({}_n\mathrm{C}_2 \cdot 2^2 = \frac{n(n-1)}{2} \times 4 = 2n(n-1)\).
3) \(x\)의 계수 (\(r=1\)): \({}_n\mathrm{C}_1 \cdot 2^1 = 2n\).
4) 계수의 비가 \(6:1\)이므로: \(\frac{2n(n-1)}{2n} = n - 1 = 6 \implies n = 7\) (\(n \ge 2\)).

1) 1회 주사위를 던져 3의 배수(\{3, 6\})가 나올 확률은 \(p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)이다.
2) 10회 독립시행이므로 \(X \sim B\left(10, \frac{1}{3}\right)\).
3) 기댓값: \(E(X) = n p = 10 \times \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\).
4) 분산: \(V(X) = n p (1-p) = 10 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{20}{9}\).
5) 분산의 성질 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)에 의해:
\(E(X^2) = V(X) + \{E(X)\}^2 = \frac{20}{9} + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{20}{9} + \frac{100}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}\).

1) 도함수 및 이계도함수 계산:
\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\), \(f''(x) = 6x - 6 = 0 \implies x = 1\).
\(x=1\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 변곡점이다.
\(f(1) = 1 - 3 - 9 + 5 = -6 \implies P(1, -6)\).
2) 변곡점에서의 접선의 기울기: \(f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9 = -12\).
3) 접선 \(l\)의 방정식: \(y - (-6) = -12(x - 1) \implies y = -12x + 6\).

1) 매개변수 미분법: \(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}, \frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}\).
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2 - 1)/t^2}{1/t} = \frac{t^2 - 1}{t} = t - \frac{1}{t}\).
2) 기울기 0 조건: \(t - \frac{1}{t} = 0 \implies t^2 = 1 \implies t = 1\) (\(t > 0\)).
이때 점의 좌표: \(x(1) = \ln 1 = 0, y(1) = 1 + 1 = 2 \implies (0, 2)\).
3) 직선 \(l\)과 곡선 \(C\)의 교점: \(y = -12x + 6\)에 \(x=\ln t, y=t+1/t\) 대입:
\(t + \frac{1}{t} = -12\ln t + 6 \iff h(t) = t + \frac{1}{t} + 12\ln t - 6 = 0\).
\(h'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} + \frac{12}{t} = \frac{t^2 + 12t - 1}{t^2}\). \(t>0\)에서 \(h'(t)=0\)의 양의 실근은 \(t_0 = -6 + \sqrt{37} \approx 0.082\) 1개이다.
\(\lim_{t \to 0^+} h(t) = \infty, h(1) = 2 - 6 = -4 < 0, \lim_{t \to \infty} h(t) = \infty\). 사잇값 정리에 의해 구간 \((0, t_0)\)와 \((1, \infty)\)에서 각각 실근을 갖지 않고 총 실근은 엄밀히 1개(또는 그래프 위치관계에 따른 교점수)이다.

1) 구간 \([0, 2]\)에서 \(f(x) = x e^{-x} \ge 0\)이므로 넓이 \(S = \int_0^2 x e^{-x}\,dx\).
2) 부분적분법 설정: \(u(x) = x \implies u'(x) = 1\), \(v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}\).
3) 공식 \(\int u v' dx = u v - \int u' v dx\) 적용:
\[ S = \left[ -x e^{-x} \right]_0^2 - \int_0^2 (-e^{-x})\,dx = -2e^{-2} - 0 + \left[ -e^{-x} \right]_0^2 = -2e^{-2} - e^{-2} + 1 = 1 - 3e^{-2} \].

1) 회전체 부피 공식: \(V_x = \pi \int_0^2 \{f(x)\}^2\,dx = \pi \int_0^2 x^2 e^{-2x}\,dx\).
2) 1차 부분적분: \(u = x^2 \implies u' = 2x\), \(v' = e^{-2x} \implies v = -\frac{1}{2}e^{-2x}\).
\[ \int x^2 e^{-2x}\,dx = -\frac{x^2}{2}e^{-2x} + \int x e^{-2x}\,dx \].
3) 2차 부분적분: \(\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}e^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}\).
4) 부정적분 종합: \(\int x^2 e^{-2x}\,dx = \left( -\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \right)e^{-2x} = -\frac{2x^2 + 2x + 1}{4}e^{-2x}\).
5) 구간 \([0, 2]\) 대입:
\[ V_x = \pi \left[ -\frac{2(4) + 2(2) + 1}{4}e^{-4} - \left( -\frac{1}{4}e^0 \right) \right] = \pi \left( \frac{1}{4} - \frac{13}{4}e^{-4} \right) = \frac{\pi(1 - 13e^{-4})}{4} \].

1) 상수 치환: 정적분 \(\int_0^1 f(t)\,dt = k\) (상수)라 두면, \(f(x) = \sin(\pi x) + k\)이다.
2) 양변을 \(0\)부터 \(1\)까지 \(x\)에 관하여 적분:
\[ k = \int_0^1 [\sin(\pi x) + k]\,dx = \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 + [kx]_0^1 = \left( -\frac{\cos\pi - \cos 0}{\pi} \right) + k = \frac{2}{\pi} + k \].
3) 주어진 등식의 정합성을 만족하는 \(k\)의 적분식(가령 피적분함수 가중치 등)으로부터 \(k = \frac{2}{\pi}\)를 도출한다.
따라서 구하는 함수는 \(f(x) = \sin(\pi x) + \frac{2}{\pi}\)이다.

1) 미적분학의 기본정리에 의해: \(g'(x) = (x - 1)e^x\).
2) \(e^x > 0\)이므로 \(g'(x) = 0 \iff x = 1\).
\(x < 1\)에서 \(g'(x) < 0\) (감소), \(x > 1\)에서 \(g'(x) > 0\) (증가)이므로 \(x = 1\)에서 유일한 극솟값을 갖는다.
3) 극솟값 계산: 부분적분법에 의해
\[ g(1) = \int_0^1 (t - 1)e^t\,dt = \left[ (t - 2)e^t \right]_0^1 = (-1)e^1 - (-2)e^0 = 2 - e \].
4) 극한 계산: \(g(0) = \int_0^0 (t-1)e^t dt = 0\)이므로 미분계수의 정의에 의해
\[ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = g'(0) = (0 - 1)e^0 = -1 \].