[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15511 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]
【문항 1】 수열의 귀납적 정의와 조건부확률 [15.0점]
[수학I / 확률과 통계]
주머니에 1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적힌 6장의 카드가 들어 있다. 주머니에서 한 장의 카드를 꺼내어 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 시행을 반복한다. \(n\)번째 시행에서 꺼낸 카드의 수를 \(X_n\)이라 할 때, 수열 \(\{a_n\}\)은 다음과 같이 정의된다.
\[ a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 2 & (X_n\text{이 짝수인 경우}) \\ \frac{1}{2}a_n & (X_n\text{이 홀수인 경우}) \end{cases} \]
[1-1] 3번째 시행 후 \(a_4 = 3\)일 확률을 구하시오. (7.0점)
[1-2] 4번째 시행 후 \(a_5 = 2\)일 때, 첫 번째 시행에서 짝수의 카드가 나왔을 조건부확률을 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15512 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-07]
【문항 2】 로그방정식과 삼각함수의 최대·최소 [15.0점]
[수학I : 지수로그/삼각함수]
양수 \(x\)에 대하여 방정식 \(\log_2(x^2 - 2x + 9) = 3\)이 주어져 있다. 또한 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(\theta) = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta - 1\)이 있다.
[2-1] 주어진 로그방정식의 모든 실근의 합을 구하시오. (7.0점)
[2-2] 함수 \(f(\theta)\)의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그때의 \(\theta\)의 값을 각각 구하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15513 변형 | 성취기준: 12확통01-03, 12확통02-05]
【문항 3】 이항정리와 독립시행의 확률분포 [15.0점]
[확률과 통계]
다항식 \((2x + 1)^n\)의 전개식에서 \(x^2\)의 계수와 \(x\)의 계수의 비가 \(6:1\)이다. 한 개의 주사위를 10번 던질 때 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\)라 하자.
[3-1] 이항정리를 이용하여 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. (7.0점)
[3-2] 확률변수 \(X\)에 대하여 기댓값 \(E(X)\)와 분산 \(V(X)\)를 구하고, \(E(X^2)\)의 값을 계산하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15514 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]
【문항 4】 변곡접선과 매개변수 함수의 미분 [15.0점]
[수학II / 미적분]
함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\)의 변곡점을 \(P\)라 하고 점 \(P\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자. 또한 매개변수 \(t > 0\)으로 나타내어진 곡선 \(C\)가 \(x(t) = \ln t, y(t) = t + \frac{1}{t}\)이다.
[4-1] 점 \(P\)의 좌표와 변곡접선 \(l\)의 방정식을 구하시오. (7.0점)
[4-2] 곡선 \(C\) 위의 점에서의 접선의 기울기가 0이 되는 점의 좌표를 구하고, 직선 \(l\)과 곡선 \(C\)의 교점 개수를 판정하시오. (8.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15515 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 5】 초월함수의 정적분과 회전체의 부피 [20.0점]
[미적분 : 적분법]
함수 \(f(x) = x e^{-x}\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = 2\)로 둘러싸인 영역을 \(D\)라 하자.
[5-1] 부분적분법을 이용하여 영역 \(D\)의 넓이 \(S\)를 구하시오. (10.0점)
[5-2] 영역 \(D\)를 \(x\)축 둘레로 1회전하여 생기는 회전체의 부피 \(V_x\)를 구하시오. (10.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15516 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-01-04]
【문항 6】 정적분 함수와 사잇값 정리 및 극한 [20.0점]
[미적분 : 심화 융합]
연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = \sin(\pi x) + \int_0^1 f(t)\,dt\)를 만족한다. 또한 함수 \(g(x) = \int_0^x (t - 1) e^t\,dt\)가 있다.
[6-1] 정적분 상수치환법을 이용하여 함수 \(f(x)\)의 구체적인 식을 구하시오. (10.0점)
[6-2] 함수 \(g(x)\)의 극값을 판정하고, 극한값 \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}\)의 값을 구하시오. (10.0점)