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2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 모의고사
창의형 [10회 모의평가] 모범답안 및 세부 채점기준표
창의형 문항 1 해설 (15.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 15601 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]
【문항 1】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]
[1-1] 핵심 개념 및 1단계 수식 유도 (4.0점)
\(3{\mkern0mu}{}{}\)의 배수의 · 눈이 나올 즉 확률은 \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(X \sim B\left(18, \dfrac{1}{3}\right){\mkern0mu}{}{}\)이다.
[1-2] 2단계 전개 및 소문항 해결 (5.0점)
\(Y = 2X - 1(18 - X) = 3X - 18{\mkern0mu}{}{}\)이다. \(Y = 0 \iff X = 6{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(P(Y = 0) = P(X = 6) = {}_{18}\mathrm{C}_{6}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}{\mkern0mu}{}{}\)이다. \(E(X) = 18 \times \dfrac{1}{3} = 6,\; V(X) = 18 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = 4{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(E(Y) = 3E(X) - 18 = 0,\; V(Y) = 9V(X) = 36{\mkern0mu}{}{}\)이다.
[1-3] 최종 결론 도출 및 종합 (6.0점)
\(V(Y) = E(Y^2) - \{E(Y)\}^2{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 · \(E(Y) = 0{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(E(Y^2) = V(Y) = 36{\mkern0mu}{}{}\)이다.
답: [5-1] \(Y = 3X - 18,\; P(Y=0) = {}_{18}\mathrm{C}_{6}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}\)  |  [5-2] \(E(X)=6,\; V(X)=4,\; E(Y)=0,\; V(Y)=36\)  |  [5-3] \(E(Y^2) = 36\)
【문항 1 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 배점)】
단계별 평가 요소 및 해결 과정 배점
[1-1] • \(Y = 3X - 18\) 관계식 도출 / \(P(Y=0)\) 독립시행 확률 표현 4.0점
[1-2] • \(E(X)=6,\; V(X)=4\) 계산 / \(E(Y)=0,\; V(Y)=36\) 도출 5.0점
[1-3] • \(E(Y^2) = V(Y) + \{E(Y)\}^2\) 공식 적용 / \(E(Y^2) = 36\) 산출 6.0점
2027학년도 중앙대 창의형 수리논술 (10회)- 1 / 6 -Questio 아카데미 수리논술 연구소
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창의형 [10회 모의평가] 모범답안 및 세부 채점기준표
창의형 문항 2 해설 (15.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 15602 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
【문항 2】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]
[2-1] 핵심 개념 및 1단계 수식 유도 (4.0점)
\(t = \log_3 x{\mkern0mu}{}{}\)로 치환하면 \(t^2 - 4t + m = 0{\mkern0mu}{}{}\)의 두 실근이 즉 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta{\mkern0mu}{}{}\)이다.
[2-2] 2단계 전개 및 소문항 해결 (5.0점)
근과 · 계수의 관계 즉 영역에서 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4 \implies \alpha\beta = 3^4 = 81{\mkern0mu}{}{}\)이다. · \(\alpha, \beta \gt 1 \iff t_1, t_2 \gt 0{\mkern0mu}{}{}\)이기 · 때문에 판별식 즉 \(D/4 = 4 - m \gt 0{\mkern0mu}{}{}\)과 두 근의 즉 곱 \(t_1 t_2 = m \gt 0{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 \(0 \lt m \lt 4{\mkern0mu}{}{}\)이다.
[2-3] 최종 결론 도출 및 종합 (6.0점)
\(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{t_2}{t_1} + \dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{(t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2}{t_1 t_2} = \dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 \(48 - 6m = 10m \implies m = 3{\mkern0mu}{}{}\)이다. · 그러므로 \(t_1 = 1, t_2 = 3{\mkern0mu}{}{}\)이기 · 때문에 \(\alpha = 3, \beta = 27,\; \alpha + \beta = 30{\mkern0mu}{}{}\)이다.
답: [1-1] \(\alpha\beta = 81\)  |  [1-2] \(0 \lt m \lt 4\)  |  [1-3] \(m = 3,\; \alpha + \beta = 30\)
【문항 2 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 배점)】
단계별 평가 요소 및 해결 과정 배점
[2-1] • 치환 방정식 \(t^2 - 4t + m = 0\) 수립 / \(\alpha\beta = 81\) 도출 4.0점
[2-2] • 판별식 \(4 - m \gt 0\) 도출 / 양근 조건 \(0 \lt m \lt 4\) 확정 5.0점
[2-3] • 밑변환 식 \(\dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}\) 수립 / \(m = 3,\; \alpha + \beta = 30\) 산출 6.0점
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창의형 [10회 모의평가] 모범답안 및 세부 채점기준표
창의형 문항 3 해설 (15.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 15603 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
【문항 3】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]
[3-1] 핵심 개념 및 1단계 수식 유도 (4.0점)
\(\triangle ABD{\mkern0mu}{}{}\)와 \(\triangle CBD{\mkern0mu}{}{}\)에 코사인법칙을 즉 적용하고 \(\cos C = -\cos A{\mkern0mu}{}{}\)를 연립한다.
[3-2] 2단계 전개 및 소문항 해결 (5.0점)
\(x^2 = 3^2 + 7^2 - 42\cos A = 58 - 42\cos A{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한, 즉 \(x^2 = 5^2 + 3^2 + 30\cos A = 34 + 30\cos A{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 즉 \(72\cos A = 24 \implies \cos A = \dfrac{1}{3}{\mkern0mu}{}{}\)이며 \(x^2 = 44{\mkern0mu}{}{}\)이다. \(\sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 즉 \(S = \dfrac{1}{2}(3\cdot 7 + 5\cdot 3)\sin A = 18 \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 12\sqrt{2}{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한, 즉 \(2R = \dfrac{2\sqrt{11}}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \implies R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}{\mkern0mu}{}{}\)이다.
[3-3] 최종 결론 도출 및 종합 (6.0점)
대각선 \(AC{\mkern0mu}{}{}\)를 공통 즉 밑변으로 볼 때, \(\overline{BP} : \overline{PD} = \operatorname{Area}(\triangle ABC) : \operatorname{Area}(\triangle ADC) = (\overline{AB}\cdot\overline{BC}\sin B) : (\overline{AD}\cdot\overline{CD}\sin D) = 15 : 21 = 5 : 7{\mkern0mu}{}{}\)이다.
답: [2-1] \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\)  |  [2-2] \(S = 12\sqrt{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\)  |  [2-3] \(5 : 7\)
【문항 3 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 배점)】
단계별 평가 요소 및 해결 과정 배점
[3-1] • 양쪽 삼각형 코사인법칙 등식 수립 / \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\) 도출 4.0점
[3-2] • 넓이 \(S = 12\sqrt{2}\) 산출 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) 계산 5.0점
[3-3] • 넓이 비 \(\triangle ABC : \triangle ADC\) 적용 / \(5 : 7\) 확정 6.0점
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창의형 문항 4 해설 (15.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15604 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
【문항 4】 모범답안 및 상세 풀이 [15.0점]
[4-1] 핵심 개념 및 1단계 수식 유도 (4.0점)
무한대 즉 극한 영역에서 · \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b{\mkern0mu}{}{}\)로 두고 \(x \to 1{\mkern0mu}{}{}\) 극한 영역에서 · 분모가 \(0{\mkern0mu}{}{}\)으로 즉 수렴함을 적용한다.
[4-2] 2단계 전개 및 소문항 해결 (5.0점)
\(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{f'(1)}{2} = 2 \implies f(1) = 0,\; f'(1) = 4{\mkern0mu}{}{}\)이다. 즉 \(f'(x) = 3x^2 - 4x + a{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 \(f'(1) = a - 1 = 4 \implies a = 5{\mkern0mu}{}{}\), \(f(1) = 1 - 2 + 5 + b = 0 \implies b = -4{\mkern0mu}{}{}\)이기 즉 때문에 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = (x-1)(x^2 - x + 4){\mkern0mu}{}{}\)이다. 즉 \(x^2 - x + 4 = 0{\mkern0mu}{}{}\)은 판별식이 음수이기 · 때문에 실근은 즉 \(x = 1{\mkern0mu}{}{}\)뿐이다.
[4-3] 최종 결론 도출 및 종합 (6.0점)
\(h = \dfrac{1}{n} \to 0^+{\mkern0mu}{}{}\)로 치환하면 주어진 · 극한은 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h} = 3 f'(1) = 3 \times 4 = 12{\mkern0mu}{}{}\)이다.
답: [3-1] \(3\)차, 계수 \(1, -2,\; f(1) = 0,\; f'(1) = 4\)  |  [3-2] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\), 실근 합 \(1\)  |  [3-3] \(12\)
【문항 4 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 배점)】
단계별 평가 요소 및 해결 과정 배점
[4-1] • \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\) 설정 / \(f(1) = 0,\; f'(1) = 4\) 도출 4.0점
[4-2] • \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\) 확정 / 실근 판별 및 합 \(1\) 도출 5.0점
[4-3] • 미분계수 정의 변형 \(3f'(1)\) 유도 / 극한값 \(12\) 산출 6.0점
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창의형 [10회 모의평가] 모범답안 및 세부 채점기준표
창의형 문항 5 해설 (20.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 15605 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 5】 모범답안 및 상세 풀이 [20.0점]
[5-1] 핵심 개념 및 1단계 수식 유도 (6.0점)
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 · \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(f'(0) = 2{\mkern0mu}{}{}\)이다.
[5-2] 2단계 전개 및 소문항 해결 (7.0점)
접선 \(l{\mkern0mu}{}{}\)은 \(y = 2x{\mkern0mu}{}{}\)이며 또한, · \(x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x - 3) = 0{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 · \(B(3, 6){\mkern0mu}{}{}\)이다. 둘러싸인 · 넓이는 \(S = \int_0^3 (2x - (x^3 - 3x^2 + 2x))\,dx = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2)\,dx = \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + x^3\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}{\mkern0mu}{}{}\)이다.
[5-3] 최종 결론 도출 및 종합 (7.0점)
접선 \(l{\mkern0mu}{}{}\)까지의 거리가 · 최대인 점 \(P{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서의 · 접선의 기울기는 즉 직선 \(AB{\mkern0mu}{}{}\)의 기울기 · \(2{\mkern0mu}{}{}\)와 같으므로 · \(3t^2 - 6t + 2 = 2 \implies t = 2{\mkern0mu}{}{}\) (\(0 \lt t \lt 3{\mkern0mu}{}{}\))이다. 점 \(P(2, 0){\mkern0mu}{}{}\)과 \(A(0, 0), B(3, 6){\mkern0mu}{}{}\)이 이루는 · \(\triangle PAB{\mkern0mu}{}{}\)의 넓이는 · 밑변 \(\overline{AP} = 2{\mkern0mu}{}{}\), 높이 · \(6{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 · \(\dfrac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6{\mkern0mu}{}{}\)이다.
답: [4-1] \(y = 2x,\; B(3, 6)\)  |  [4-2] \(S = \dfrac{27}{4}\)  |  [4-3] \(t = 2,\; \text{넓이 } 6\)
【문항 5 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 배점)】
단계별 평가 요소 및 해결 과정 배점
[5-1] • 접선 \(y = 2x\) 도출 / 교점 \(B(3, 6)\) 산출 6.0점
[5-2] • 정적분 피적분함수 설정 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 계산 7.0점
[5-3] • 평행 접선 조건 \(t = 2\) 도출 / \(\triangle PAB\) 넓이 \(6\) 산출 7.0점
2027학년도 중앙대 창의형 수리논술 (10회)- 5 / 6 -Questio 아카데미 수리논술 연구소
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창의형 [10회 모의평가] 모범답안 및 세부 채점기준표
창의형 문항 6 해설 (20.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15606 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]
【문항 6】 모범답안 및 상세 풀이 [20.0점]
[6-1] 핵심 개념 및 1단계 수식 유도 (6.0점)
전체 · 경우의 수 \({}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35{\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 \(P(X = k) = \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{k} \cdot {}_{3}\mathrm{C}_{3-k}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}{\mkern0mu}{}{}\) (\(k = 0, 1, 2, 3{\mkern0mu}{}{}\))이다.
[6-2] 2단계 전개 및 소문항 해결 (7.0점)
\(k = 0, 1, 2, 3{\mkern0mu}{}{}\)인 조건에서 분자는 즉 각각 \(1, 12, 18, 4{\mkern0mu}{}{}\)이며 · 또한 합은 즉 \(35{\mkern0mu}{}{}\)이기 · 때문에 확률 즉 합은 \(1{\mkern0mu}{}{}\)이다. · \(E(X) = \dfrac{0\cdot 1 + 1\cdot 12 + 2\cdot 18 + 3\cdot 4}{35} = \dfrac{60}{35} = \dfrac{12}{7}{\mkern0mu}{}{}\)이며 · 또한, \(E(X^2) = \dfrac{0 + 12 + 72 + 36}{35} = \dfrac{120}{35} = \dfrac{24}{7}{\mkern0mu}{}{}\)이다.
[6-3] 최종 결론 도출 및 종합 (7.0점)
\(V(X) = \dfrac{24}{7} - \left(\dfrac{12}{7}\right)^2 = \dfrac{168 - 144}{49} = \dfrac{24}{49}{\mkern0mu}{}{}\)이다. · 그러므로 \(E(Y) = 35 \cdot \dfrac{12}{7} - 10 = 50{\mkern0mu}{}{}\)이며 · 또한, \(V(Y) = 35^2 \cdot \dfrac{24}{49} = 25 \times 24 = 600{\mkern0mu}{}{}\)이다.
답: [5-1] \(P(X=0)=\dfrac{1}{35},\; P(X=1)=\dfrac{12}{35},\; P(X=2)=\dfrac{18}{35},\; P(X=3)=\dfrac{4}{35}\)  |  [5-2] \(E(X)=\dfrac{12}{7},\; E(X^2)=\dfrac{24}{7}\)  |  [5-3] \(V(X)=\dfrac{24}{49},\; E(Y)=50,\; V(Y)=600\)
【문항 6 세부 채점기준표 (Rubric - 단계별 배점)】
단계별 평가 요소 및 해결 과정 배점
[6-1] • 조합 공식 수립 / \(k=0,1,2,3\) 확률 \(4\)개 정확 도출 6.0점
[6-2] • \(E(X) = \dfrac{12}{7}\) 산출 / \(E(X^2) = \dfrac{24}{7}\) 계산 7.0점
[6-3] • \(V(X) = \dfrac{24}{49}\) 도출 / \(E(Y) = 50,\; V(Y) = 600\) 산출 7.0점
2027학년도 중앙대 창의형 수리논술 (10회)- 6 / 6 -Questio 아카데미 수리논술 연구소
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