[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 15601 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]
【문항 1】 독립시행의 확률과 · 이항분포의 평균·분산 즉 추론 [15.0점]
[확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포]
[창의ICT 제시문 10-1] 매 시행 · 영역에서 사건 즉 \(A{\mkern0mu}{}{}\)가 일어날 · 확률이 \(p{\mkern0mu}{}{}\) (\(q = 1 - p{\mkern0mu}{}{}\))로 일정할 · 때, \(n{\mkern0mu}{}{}\)번의 독립시행 · 영역에서 사건 즉 \(A{\mkern0mu}{}{}\)가 일어나는 · 횟수 \(X{\mkern0mu}{}{}\)는 이항분포 · \(B(n, p){\mkern0mu}{}{}\)를 따르며 · \(P(X = r) = {}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r q^{n-r},\; E(X) = np,\; V(X) = npq{\mkern0mu}{}{}\)이다.
한 개의 · 주사위를 던져 즉 \(3{\mkern0mu}{}{}\)의 배수의 · 눈이 나오면 즉 수직선 위의 · 점 \(P{\mkern0mu}{}{}\)를 양의 · 방향으로 \(2{\mkern0mu}{}{}\)만큼 이동시키고, · 그 외의 즉 눈이 나오면 · 음의 방향으로 즉 \(1{\mkern0mu}{}{}\)만큼 이동시키는 · 시행을 \(18{\mkern0mu}{}{}\)번 반복한다. · 원점 영역에서 즉 출발한 점 \(P{\mkern0mu}{}{}\)의 최종 · 위치를 확률적 즉 변수 \(Y{\mkern0mu}{}{}\)라고 둘 때, 제시된 즉 소문항을 순서대로 · 해결하시오.
[1-1] \(18{\mkern0mu}{}{}\)번의 시행 · 중 \(3{\mkern0mu}{}{}\)의 배수의 · 눈이 나오는 즉 횟수를 확률적 · 변수 \(X{\mkern0mu}{}{}\)라고 둘 때, \(Y{\mkern0mu}{}{}\)를 \(X{\mkern0mu}{}{}\)에 대한 · 일차식으로 나타내고 즉 \(P(Y = 0){\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 · 조합 기호와 즉 거듭제곱으로 나타내시오. (4.0점)
[1-2] 확률적 변수 · \(X{\mkern0mu}{}{}\)의 평균 · \(E(X){\mkern0mu}{}{}\)와 분산 · \(V(X){\mkern0mu}{}{}\)를 구하고, · 이를 이용하여 즉 최종 위치 · \(Y{\mkern0mu}{}{}\)의 평균 · \(E(Y){\mkern0mu}{}{}\)와 분산 · \(V(Y){\mkern0mu}{}{}\)를 각각 · 계산하시오. (5.0점)
[1-3] \(E(Y^2){\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 · 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 15602 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
【문항 2】 로그관계등식의 · 치환과 두 실근의 곱 및 정수 즉 계수 조건 [15.0점]
[대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수]
[창의ICT 제시문 10-2] 0보다 · 큰 수 \(x{\mkern0mu}{}{}\)에 대한 관계등식 즉 \((\log_3 x)^2 - k \log_3 x + m = 0{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 \(t = \log_3 x{\mkern0mu}{}{}\)로 치환하면, 원래 즉 관계등식의 중복 · 없는 두 양의 실근 · \(\alpha, \beta{\mkern0mu}{}{}\)는 치환된 이차관계등식의 즉 두 실근 · \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta{\mkern0mu}{}{}\)에 대응하며 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta){\mkern0mu}{}{}\)가 항상 성립한다.
0보다 · 큰 수 \(x{\mkern0mu}{}{}\)에 대한 관계등식 즉 \((\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + m = 0{\mkern0mu}{}{}\)이 중복 없는 즉 두 실근 · \(\alpha, \beta{\mkern0mu}{}{}\) (\(1 \lt \alpha \lt \beta{\mkern0mu}{}{}\))를 · 갖도록 하는 즉 실수 \(m{\mkern0mu}{}{}\)과 근의 성질을 즉 분석하고자 한다. · 제시된 소문항을 즉 순서대로 해결하시오.
[2-1] 제시문 · (가)의 치환을 즉 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 \(m{\mkern0mu}{}{}\)에 관계없이 계산하시오. (4.0점)
[2-2] 두 실근 \(\alpha, \beta{\mkern0mu}{}{}\)가 모두 \(1{\mkern0mu}{}{}\)보다 · 크고 서로 즉 다르기 위한 · 실수 \(m{\mkern0mu}{}{}\)의 값의 범위를 즉 계산하시오. (5.0점)
[2-3] \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{10}{3}{\mkern0mu}{}{}\)이 성립할 때, 즉 상수 \(m{\mkern0mu}{}{}\)의 값과 \(\alpha + \beta{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 각각 즉 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 15603 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
【문항 3】 원에 내접하는 즉 사각형의 코사인법칙과 · 대각선 분할 즉 넓이 [15.0점]
[대수 Ⅱ. 삼각함수]
[창의ICT 제시문 10-3] 원에 내접하는 즉 사각형 \(ABCD{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 즉 마주 보는 · 두 내각의 즉 합은 \(\pi{\mkern0mu}{}{}\)이기 때문에 즉 \(\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A{\mkern0mu}{}{}\)가 항상 즉 성립한다.
원에 내접하는 즉 사각형 \(ABCD{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 즉 \(\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 5,\; \overline{CD} = 3,\; \overline{DA} = 7{\mkern0mu}{}{}\)인 조건에서, 즉 대각선의 길이와 · 사각형의 넓이를 즉 분석하려 한다. · 제시된 소문항을 즉 순서대로 해결하시오.
[3-1] 대각선 \(BD{\mkern0mu}{}{}\)의 길이를 즉 \(x{\mkern0mu}{}{}\)라고 둘 때, 두 삼각형 \(ABD{\mkern0mu}{}{}\)와 \(CBD{\mkern0mu}{}{}\) 영역에서 즉 각각 코사인법칙을 · 적용하여 \(\cos A{\mkern0mu}{}{}\)와 \(x^2{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 즉 각각 계산하시오. (4.0점)
[3-2] 사각형 \(ABCD{\mkern0mu}{}{}\)의 넓이 즉 \(S{\mkern0mu}{}{}\)와 외접원의 즉 반지름 \(R{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 즉 각각 계산하시오. (5.0점)
[3-3] 두 대각선 즉 \(AC{\mkern0mu}{}{}\)와 \(BD{\mkern0mu}{}{}\)의 교점을 즉 \(P{\mkern0mu}{}{}\)라고 둘 때, 선분 · \(BP{\mkern0mu}{}{}\)와 \(PD{\mkern0mu}{}{}\)의 길이의 즉 비 \(\overline{BP} : \overline{PD}{\mkern0mu}{}{}\)를 가장 즉 간단한 자연수 · 값의 비로 즉 나타내시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15604 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
【문항 4】 무한대 즉 극한과 영인자 · 극한을 만족시키는 즉 삼차 다항식의 · 결정 [15.0점]
[미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한]
[창의ICT 제시문 10-4] 다항함수 즉 \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^n} = c{\mkern0mu}{}{}\) (\(c \ne 0{\mkern0mu}{}{}\))이면 즉 \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)는 최고차항의 계수가 · \(c{\mkern0mu}{}{}\)인 \(n{\mkern0mu}{}{}\)차 다항식이며 또한, · \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x - a} = L{\mkern0mu}{}{}\)이 존재하면 \(f(a) = 0,\; f'(a) = L{\mkern0mu}{}{}\)이다.
다항함수 즉 \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2{\mkern0mu}{}{}\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 2{\mkern0mu}{}{}\)를 동시에 충족할 · 때, 함수 즉 \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)를 분석하려 한다. · 제시된 소문항을 즉 순서대로 해결하시오.
[4-1] 핵심 즉 정리를 바탕으로 · \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)의 차수와 삼차항·이차항의 · 계수를 결정하고, 즉 \(f(1){\mkern0mu}{}{}\)과 \(f'(1){\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 각각 · 계산하시오. (4.0점)
[4-2] 다항함수 즉 \(f(x){\mkern0mu}{}{}\)의 식을 완전히 · 구하고, 관계등식 즉 \(f(x) = f(1){\mkern0mu}{}{}\)의 모든 실근의 · 합을 계산하시오. (5.0점)
[4-3] 자연수 즉 값 \(n{\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 극한값 · \(\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}{\mkern0mu}{}{}\)의 수치를 계산하시오. (6.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 15605 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]
【문항 5】 삼차 다항식 · 위의 점 영역에서의 접선과 · 곡선으로 내부 즉 폐영역의 면적 [20.0점]
[미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용]
[창의ICT 제시문 10-5] 최고차항의 계수가 · \(a{\mkern0mu}{}{}\)인 삼차 · 다항식 \(y = f(x){\mkern0mu}{}{}\) 위의 · 점 \((\alpha, f(\alpha)){\mkern0mu}{}{}\) 영역에서의 · 접선이 곡선과 즉 점 \((\beta, f(\beta)){\mkern0mu}{}{}\) (\(\alpha \ne \beta{\mkern0mu}{}{}\)) 영역에서 · 다시 만날 즉 때, 곡선과 · 접선으로 내부 즉 폐영역의 면적는 · \(S = \dfrac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4{\mkern0mu}{}{}\)이다.
곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x{\mkern0mu}{}{}\) 위의 · 점 \(A(0, 0){\mkern0mu}{}{}\) 영역에서의 · 접선을 \(l{\mkern0mu}{}{}\)이라고 둘 때, 접선 즉 \(l{\mkern0mu}{}{}\)과 곡선의 · 교점 및 둘러싸인 넓이를 · 분석하고자 한다. 즉 제시된 소문항을 · 순서대로 해결하시오.
[5-1] 점 \(A(0, 0){\mkern0mu}{}{}\) 영역에서의 · 접선 \(l{\mkern0mu}{}{}\)의 관계등식을 · 구하고, 접선 즉 \(l{\mkern0mu}{}{}\)이 곡선과 · 다시 만나는 즉 점 \(B{\mkern0mu}{}{}\)의 좌표를 · 계산하시오. (6.0점)
[5-2] 곡선과 접선 · \(l{\mkern0mu}{}{}\)로 내부 · 폐영역의 면적 즉 \(S{\mkern0mu}{}{}\)를 정적분으로 · 계산하시오. (7.0점)
[5-3] 점 \(A{\mkern0mu}{}{}\)와 점 \(B{\mkern0mu}{}{}\) 사이의 · 곡선 위의 즉 점 \(P(t, t^3 - 3t^2 + 2t){\mkern0mu}{}{}\) (\(0 \lt t \lt 3{\mkern0mu}{}{}\)) 영역에서 · 접선 \(l{\mkern0mu}{}{}\)까지의 거리가 · 최대가 되도록 즉 하는 \(t{\mkern0mu}{}{}\)의 값과 · 그때의 \(\triangle PAB{\mkern0mu}{}{}\)의 넓이를 · 계산하시오. (7.0점)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15606 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]
【문항 6】 비복원 · 추출 영역에서 즉 이산확률적 변수의 · 확률분포와 기대평균·분산 [20.0점]
[확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포]
[창의ICT 제시문 10-6] 이산확률적 · 변수 \(X{\mkern0mu}{}{}\)가 취하는 값 \(x_1, x_2, \dots, x_n{\mkern0mu}{}{}\)과 각 확률 즉 \(p_i = P(X = x_i){\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 기대평균은 즉 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i{\mkern0mu}{}{}\)이며 · 또한 분산은 즉 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2{\mkern0mu}{}{}\)이며, · 선형 변환 즉 \(Y = aX + b{\mkern0mu}{}{}\)에 관하여 \(E(Y) = aE(X) + b,\; V(Y) = a^2 V(X){\mkern0mu}{}{}\)이다.
붉은 · 공 \(4{\mkern0mu}{}{}\)개와 · 푸른 공 \(3{\mkern0mu}{}{}\)개가 · 들어 있는 즉 주머니 영역에서 · 임의로 \(3{\mkern0mu}{}{}\)개의 · 공을 동시에 즉 꺼낼 때, · 나오는 붉은 즉 공의 개수를 · 확률적 변수 즉 \(X{\mkern0mu}{}{}\)라 하자. 제시된 즉 소문항을 순서대로 · 해결하시오.
[6-1] 확률적 · 변수 \(X{\mkern0mu}{}{}\)가 가질 수 있는 모든 · 값에 관하여 즉 확률질량함수 \(P(X = k){\mkern0mu}{}{}\)를 구하고 확률의 즉 총합이 \(1{\mkern0mu}{}{}\)임을 · 확인하시오. (6.0점)
[6-2] 확률적 · 변수 \(X{\mkern0mu}{}{}\)의 기대평균 \(E(X){\mkern0mu}{}{}\)와 제곱의 기대평균 즉 \(E(X^2){\mkern0mu}{}{}\)을 각각 계산하시오. (7.0점)
[6-3] 확률적 · 변수 \(X{\mkern0mu}{}{}\)의 분산 \(V(X){\mkern0mu}{}{}\)를 구하고, \(Y = 35X - 10{\mkern0mu}{}{}\)의 평균 \(E(Y){\mkern0mu}{}{}\)와 분산 \(V(Y){\mkern0mu}{}{}\)를 각각 계산하시오. (7.0점)