2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집 | 9회 : 상용로그의 및 정수부분 · 사차등식관계의 실근의, · 다항함수의, 차수 결정 · 원래 함수와 및 역함수 · 구의 및 등식관계과 벡

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (9회차))

[대문항 1] (20점) 상용로그의 및 정수부분과 소수부분의, 조건을 이용한 및 양의 실수, 결정

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 15091 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> 임의의 및 양의 실수, \(N{\kern0pt}{}\)에 관하여 상용로그, \(\log_{10} N = n + \alpha{\kern0pt}{}\) (\(n{\kern0pt}{}\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1{\kern0pt}{}\))로 및 유일하게 나타낼, 때, \(n = [\log_{10} N]{\kern0pt}{}\)을 정수부분, \(\alpha = \log_{10} N - [\log_{10} N]{\kern0pt}{}\)을 소수부분이라 한다.

\(10 \le x \lt 1000{\kern0pt}{}\)인 실수 \(x{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(\log_{10} x{\kern0pt}{}\)의 정수부분과 소수부분의, 성질을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(100 \le x \lt 1000{\kern0pt}{}\)인 조건에서, \(\log_{10} x{\kern0pt}{}\)의 소수부분과 \(\log_{10}(x^2){\kern0pt}{}\)의 소수부분의 합이, \(1{\kern0pt}{}\)이 되도록 하는, 모든 실수 및 \(x{\kern0pt}{}\)의 값들의 곱을, 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) \(100 \le x \lt 1000{\kern0pt}{}\)인 조건에서, \(\log_{10} x{\kern0pt}{}\)의 소수부분과 \(\log_{10}\sqrt{x}{\kern0pt}{}\)의 소수부분의 합이, \(1{\kern0pt}{}\)이 되도록 하는, 모든 실수 및 \(x{\kern0pt}{}\)의 값들의 곱을, 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) \(1 \le k \le 200{\kern0pt}{}\)인 양의 정수, \(k{\kern0pt}{}\)에 관하여 \([\log_{10} k]{\kern0pt}{}\)의 값에 따라, 구간을 나누어 및 합 \(\sum_{k=1}^{200} [\log_{10} k]{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x = 10\) | [1-2] \(10^5\) | [1-3] \(292\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(1 \le \log_{10} x \lt 2{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(2\log_{10} x - \log_{10} x = \log_{10} x{\kern0pt}{}\)가 정수이기 때문에, \(\log_{10} x = 1 \implies x = 10{\kern0pt}{}\)이다. 및 \(2 \le \log_{10} x \lt 3{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(\log_{10} x + 2\log_{10} x = 3\log_{10} x{\kern0pt}{}\)가 정수이며 또한, 소수부분이 \(0{\kern0pt}{}\)이 아니므로 \(3\log_{10} x = 7, 8{\kern0pt}{}\) (\(\log_{10} x = 2{\kern0pt}{}\)는 소수부분이 \(0{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 제외)이며,, 그러므로 모든 및 \(x{\kern0pt}{}\)의 곱은 \(10^{7/3 + 8/3} = 10^5{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(1 \le \log_{10} x \lt 2{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(2\log_{10} x - \log_{10} x = \log_{10} x{\kern0pt}{}\)가 정수이기 때문에, \(\log_{10} x = 1 \implies x = 10{\kern0pt}{}\)이다. 및 \(2 \le \log_{10} x \lt 3{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(\dfrac{3}{2}\log_{10} x{\kern0pt}{}\)가 정수이며 또한, 소수부분이 \(0{\kern0pt}{}\)이 아니므로 \(\dfrac{3}{2}\log_{10} x = 4 \implies \log_{10} x = \dfrac{8}{3}{\kern0pt}{}\)이다(\(\dfrac{3}{2}\log_{10} x = 3{\kern0pt}{}\)이면 및 \(\log_{10} x = 2{\kern0pt}{}\)로 소수부분이 \(0{\kern0pt}{}\)이 되어 제외)., 문제 영역에서 및 \(\log_{10} x{\kern0pt}{}\)와 \(\log_{10}(x^2){\kern0pt}{}\)의 소수부분 합이, \(1{\kern0pt}{}\)이라 및 하면 \(3\log_{10} x = 7, 8{\kern0pt}{}\) 영역에서 곱은, \(10^5{\kern0pt}{}\)이다!

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(1 \le k \le 9{\kern0pt}{}\) (\(9{\kern0pt}{}\)개) 및 영역에서 \(0{\kern0pt}{}\), \(10 \le k \le 99{\kern0pt}{}\) (\(90{\kern0pt}{}\)개) 및 영역에서 \(1{\kern0pt}{}\), \(100 \le k \le 200{\kern0pt}{}\) (\(101{\kern0pt}{}\)개) 및 영역에서 \(2{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 합은, \(0 + 90 \times 1 + 101 \times 2 = 292{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 차 \(\log_{10} x\) 정수 조건 적용 +3점 / \(x = 10\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 합 정수 조건 및 소수부분 \(0\) 제외 검증 +4점 / 거듭제곱 곱 산출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 자릿수별 개수 \(9, 90, 101\) 분류 +4점 / 합 \(292\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 상용로그의 소수부분의, 합이 \(1{\kern0pt}{}\)인 조건에서는 어느, 한쪽의 소수부분이 및 \(0{\kern0pt}{}\)이 되는 경우(정수인, 경우)를 반드시 및 제외해야 합니다.

[대문항 2] (20점) 사차등식관계의 실근의, 개수와 3차 및 다항식의 극값, 부호 판별

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 15092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 4차 다항식, \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k{\kern0pt}{}\) (\(k{\kern0pt}{}\)는 실수)의, 극값과 실근의 및 개수를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

최고차항의 계수가, \(1{\kern0pt}{}\)인 4차, 다항식 \(f(x) = x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 24x + k{\kern0pt}{}\) (\(k{\kern0pt}{}\)는 실수)의, 극값과 실근의 및 개수를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 도함수 \(f'(x){\kern0pt}{}\)를 인수분해하여, 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 극수치를, 갖는 모든 및 \(x{\kern0pt}{}\)의 수치를, 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)의 극댓값과, 두 극솟수치를 및 각각 \(k{\kern0pt}{}\)에 대한, 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2),\; x = -1, 0, 2{\kern0pt}{}\) | , [2-2] 극댓값 및 \(k{\kern0pt}{}\), 극솟값, \(k-5,\; k-32{\kern0pt}{}\) | , [2-3] \(0 \lt k \lt 5{\kern0pt}{}\), 정수, \(4{\kern0pt}{}\)개

🎯 모범 정답 : [2-1] \(f'(x) = 4(x+2)\dots\) 수정: \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 12\) 형태 정합 아래 참조

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 계산이 깔끔한, 4차 다항식 및 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k{\kern0pt}{}\)로 도함수, \(f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2){\kern0pt}{}\)를 분석한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x + 1)(x - 2) = 0{\kern0pt}{}\) 영역에서, \(x = -1, 0, 2{\kern0pt}{}\)이다. 극댓값은, \(f(0) = k{\kern0pt}{}\)이며 또한,, 두 극솟값은 및 \(f(-1) = k - 5,\; f(2) = k - 32{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 각각 상이한, 네 실근을 및 가지려면 극댓값, \(f(0) \gt 0{\kern0pt}{}\)이며 또한, 두 극솟값 및 \(f(-1) \lt 0,\; f(2) \lt 0{\kern0pt}{}\)이 동시에, 성립해야 하므로 및 \(k \gt 0{\kern0pt}{}\) 및 \(k - 5 \lt 0 \implies 0 \lt k \lt 5{\kern0pt}{}\)이다. 그러므로, 정수 \(k{\kern0pt}{}\)는 \(1, 2, 3, 4{\kern0pt}{}\)의 \(4{\kern0pt}{}\)개이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / \(x = -1, 0, 2\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 극댓값 \(k\) 산출 +3점 / 두 극솟값 \(k - 5,\; k - 32\) 도출 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 네 실근 부등식 \(0 \lt k \lt 5\) 수립 +4점 / 정수 \(k\) \(4\)개 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 사차등식관계이 각각, 상이한 네 실근을 가지려면, 두 극솟값 및 중 더 큰 값인 및 \(f(-1) = k - 5{\kern0pt}{}\)가 음수(\(k \lt 5{\kern0pt}{}\))이며 또한, 극댓값 \(f(0) = k{\kern0pt}{}\)가 양의, 실수(\(k \gt 0{\kern0pt}{}\))여야 합니다.

[대문항 3] (20점) 다항함수의, 차수 결정 및 극한과 곡선, 위의 접선의 및 수직 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 15093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 다항함수, \(f(x){\kern0pt}{}\)에 관하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - k}{x - 2} = m{\kern0pt}{}\)이면, \(f(2) = k,\; f'(2) = m{\kern0pt}{}\)이며,, 점 \((2, f(2)){\kern0pt}{}\) 영역에서 접선에 및 수직이며 또한, 같은 점을 및 지나는 법선의, 기울기는 \(-\dfrac{1}{f'(2)}{\kern0pt}{}\) (\(f'(2) \ne 0{\kern0pt}{}\))이다.

최고차항의, 계수가 \(1{\kern0pt}{}\)인 3차 다항식 및 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 \(f(0) = 0{\kern0pt}{}\)이며, 또한 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2{\kern0pt}{}\)를 성립할 때, 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)와 접선·법선을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 주어진, 조건을 적용해 및 \(f(1){\kern0pt}{}\)과 \(f'(1){\kern0pt}{}\)의 수치를 구하고, 및 3차 다항식, \(f(x){\kern0pt}{}\)의 식을 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선, \(y = f(x){\kern0pt}{}\) 위의 점 \(A(2, f(2)){\kern0pt}{}\) 영역에서의 접선 및 \(l_1{\kern0pt}{}\)과 점 \(A{\kern0pt}{}\)를 지나고 \(l_1{\kern0pt}{}\)에 수직인 직선 및 \(l_2{\kern0pt}{}\)의 등식관계을 각각 및 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 직선 \(l_1, l_2{\kern0pt}{}\)와 \(x{\kern0pt}{}\)축으로, 둘러싸인 삼각형의 및 넓이를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(1) = 0,\; f'(1) = -2,\; f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x\) | [3-2] \(l_1 : y = -x,\; l_2 : y = x - 4\) | [3-3] \(4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(0) = 0,\; f(1) = 0{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 \(f(x) = x(x - 1)(x - k){\kern0pt}{}\)로 놓는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(1) = 1 \cdot (1 - k) = -2 \implies k = 3{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 \(f(x) = x(x - 1)(x - 3) = x^3 - 4x^2 + 3x{\kern0pt}{}\)이다., \(f(2) = -2{\kern0pt}{}\)이며, 또한 \(f'(x) = 3x^2 - 8x + 3{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(f'(2) = -1{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 접선 및 \(l_1{\kern0pt}{}\)은 \(y + 2 = -(x - 2) \implies y = -x{\kern0pt}{}\)이며, 또한, 수직인 및 직선 \(l_2{\kern0pt}{}\)는 기울기가 \(1{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 \(y + 2 = x - 2 \implies y = x - 4{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(l_1{\kern0pt}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}\)절편은, \(0{\kern0pt}{}\), \(l_2{\kern0pt}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}\)절편은, \(4{\kern0pt}{}\), 교점 \(A(2, -2){\kern0pt}{}\)의 \(y{\kern0pt}{}\)좌표, 절댓값은 \(2{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 둘러싸인 및 삼각형의 넓이는, \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f(x) = x(x-1)(x-k)\) 설정 +3점 / \(k = 3\) 및 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x\) 확정 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f(2) = -2,\; f'(2) = -1\) 계산 +3점 / \(l_1 : y = -x,\; l_2 : y = x - 4\) 도출 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(x\)절편 \(0, 4\) 도출 +3점 / 삼각형 넓이 \(4\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 인수정리를, 활용하여 \(f(x) = x(x-1)(x-k){\kern0pt}{}\)로 두면 \(f'(1) = 1 - k{\kern0pt}{}\)를 미분 전개 및 없이 즉시, 구할 수 있습니다.

[대문항 4] (20점) 원래 함수와 및 역함수의 정적분, 합과 기하적 및 넓이 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 15094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 연속인 및 함수 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)의 역함수를 및 \(y = f^{-1}(x){\kern0pt}{}\)라고 둘 때, 직선, \(y = x{\kern0pt}{}\)에 대한 및 대칭성에 의하여, \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a){\kern0pt}{}\)가 항상 및 성립한다.

실수 전 구간 영역에서, 증가하는 3차 및 다항식 \(f(x) = x^3 + x + 1{\kern0pt}{}\)의 역함수를 및 \(g(x){\kern0pt}{}\)라고 둘 때, 역함수의, 정적분과 둘러싸인 및 넓이를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)와 직선 및 \(y = x{\kern0pt}{}\) 및 두 직선, \(x = 0,\; x = 2{\kern0pt}{}\)로 경계 및 내부 영역, 면적 \(A{\kern0pt}{}\)를 구하고, 및 이를 이용하여, 정적분 \(\int_0^2 \{f(x) - g(x)\}\,dx{\kern0pt}{}\)가 아닌 및 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}\), \(y = g(x){\kern0pt}{}\)와 직선 및 \(x + y = 1,\; x + y = 13{\kern0pt}{}\) 대신 및 \(\int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx{\kern0pt}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)와 그 역함수 \(y = g(x){\kern0pt}{}\) 및 두 직선, \(x + y = 1,\; x + y = 13{\kern0pt}{}\)으로 경계 및 내부 영역, 면적를 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] \(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11,\; \int_1^{11} g(x)\,dx = 14{\kern0pt}{}\) | 및 [4-2] \(A = 6,\; \int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx = 46{\kern0pt}{}\) | 및 [4-3] \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}{\kern0pt}{}\), 넓이 및 \(\dfrac{1}{8}{\kern0pt}{}\)

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11,\; \int_1^{11} g(x)\,dx = 14\) | [4-2] 넓이 \(22\) | [4-3] \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}\), 넓이 \(\dfrac{1}{8}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\int_0^2 (x^3 + x + 1)\,dx = 8{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 2 \times 11 - 0 \times 1 - 8 = 14{\kern0pt}{}\)이다. \(A = \int_0^2 (x^3 + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + x\right]_0^2 = 6{\kern0pt}{}\)이며 또한, 및 \(\int_1^{11} (x - g(x))\,dx = \left[\dfrac{1}{2}x^2\right]_1^{11} - 14 = 60 - 14 = 46{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_0^2 (x^3 + x + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + x\right]_0^2 = 4 + 2 + 2 = 8{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 2 \times 11 - 0 \times 1 - 8 = 14{\kern0pt}{}\)이다. 직선 및 \(x + y = 1{\kern0pt}{}\)은 \((0,1),(1,0){\kern0pt}{}\)을 지나고 및 \(x + y = 13{\kern0pt}{}\)은 \((2,11),(11,2){\kern0pt}{}\)를 지나므로 및 사다리꼴 넓이, \(\dfrac{1}{2}(1 + 9)\times \dots{\kern0pt}{}\) 또는 및 대칭성을 이용해, \(2\int_0^2 (f(x) - x)\,dx{\kern0pt}{}\)에 양 끝 직각삼각형을, 보정한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(3) = 1{\kern0pt}{}\)이며 또한 및 \(g'(3) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{4}(x - 3) \implies y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}{\kern0pt}{}\)이며, 절편이 및 \(-1, \dfrac{1}{4}{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 1 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(f(0)=1,\; f(2)=11\) 확인 +2점 / 직사각형 차 공식으로 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 14\) 도출 +4점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 대칭 영역 정적분 설정 +4점 / 둘러싸인 넓이 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 역함수 미분계수 \(g'(3) = \dfrac{1}{4}\) 도출 +4점 / 접선 및 삼각형 넓이 \(\dfrac{1}{8}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 3차 다항식 및 \(f(x) = x^3 + x + 1{\kern0pt}{}\)의 역함수 및 식을 직접, 구할 수 없으므로 반드시, \(y = x{\kern0pt}{}\) 대칭 및 직사각형 넓이, 공식을 활용해야 및 합니다.

[대문항 5] (20점) 구의 및 등식관계과 벡터의, 내적 분해를 및 이용한 극대·최대치·극소·최소치

기하 Ⅲ-1. 공간도형과 공간좌표 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 15095 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 중심이 및 \(C{\kern0pt}{}\)이며 및 또한 반지름의, 길이가 \(r{\kern0pt}{}\)인 구 위의, 동점 \(P{\kern0pt}{}\)와 정점 \(A, B{\kern0pt}{}\)에 관하여 벡터를, \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}{\kern0pt}{}\)로 분해하면, 구의, 중심을 기준으로 및 내적의 극대·최대치과, 극소·최소치을 구할 및 수 있다.

좌표공간 및 영역에서 구 \(S : (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 4{\kern0pt}{}\) 위의 동점, \(P{\kern0pt}{}\)와 두 점 \(A(0, 0, 0),\; B(4, 4, 2){\kern0pt}{}\)에 관하여 벡터의, 크기와 내적을 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구 \(S{\kern0pt}{}\)의 중심 \(C{\kern0pt}{}\)의 좌표와 반지름, \(r{\kern0pt}{}\)을 구하고, 선분, \(OC{\kern0pt}{}\)의 길이 및 선분 \(OP{\kern0pt}{}\)의 길이의 극대·최대치과, 극소·최소치을 각각 및 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 구 \(S{\kern0pt}{}\) 위의 두 점 \(P, Q{\kern0pt}{}\)에 관하여 내적, \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}{\kern0pt}{}\)의 극대·최대치을 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 구 \(S{\kern0pt}{}\)가 \(xy{\kern0pt}{}\)평면과 및 만나서 생기는, 원 \(D{\kern0pt}{}\)의 넓이와, 원 \(D{\kern0pt}{}\) 위의 점 \(X{\kern0pt}{}\)에 관하여 선분, \(BX{\kern0pt}{}\)의 길이의 극소·최소치을, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(C(2, 2, 1),\; r = 2,\; \overline{OC} = 3\), 최대 \(5\), 최소 \(1\) | [5-2] \(25\) | [5-3] 넓이 \(3\pi\), 최솟값 \(3 - \sqrt{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 중심 및 \(C(2, 2, 1){\kern0pt}{}\) 영역에서 원점까지의, 거리는 \(\overline{OC} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3{\kern0pt}{}\)이며 및 또한 반지름은, \(r = 2{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{OP}{\kern0pt}{}\)의 극대·최대치은 \(\overline{OC} + r = 5{\kern0pt}{}\), 극소·최소치은 \(\overline{OC} - r = 1{\kern0pt}{}\)이다. 및 두 점 \(P, Q{\kern0pt}{}\)가 모두 원점, \(O{\kern0pt}{}\) 영역에서 가장, 먼 점(\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ},\; |\overrightarrow{OP}| = 5{\kern0pt}{}\)) 영역에서 일치할, 때 내적 및 \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}{\kern0pt}{}\)는 극대·최대치 \(5 \times 5 \times \cos 0 = 25{\kern0pt}{}\)를 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구 \(S{\kern0pt}{}\)의 등식관계에 \(z = 0{\kern0pt}{}\)을 대입하면 \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 3{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 원 \(D{\kern0pt}{}\)의 중심은 \(C'(2, 2, 0){\kern0pt}{}\), 반지름은 \(r' = \sqrt{3}{\kern0pt}{}\), 넓이는 \(3\pi{\kern0pt}{}\)이다. 및 점 \(B(4, 4, 2){\kern0pt}{}\)의 \(xy{\kern0pt}{}\)평면 및 위로의 수선의, 발을 \(B'(4, 4, 0){\kern0pt}{}\)이라 및 하면 \(\overline{C'B'} = 2\sqrt{2}{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 원 \(D{\kern0pt}{}\) 위의 점 \(X{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(B'{\kern0pt}{}\)까지의 및 최소 거리는, \(2\sqrt{2} - \sqrt{3}{\kern0pt}{}\)이며 및 또한, 피타고라스, 정리에 의해 및 \(\overline{BX}_{\min} = \sqrt{(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{15 - 4\sqrt{6}}{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\overline{OC} = 3\) 도출 +3점 / 최대 \(5,\;\) 최소 \(1\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 코시-슈바르츠 부등식 \(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} \le \|\overrightarrow{OP}\|\|\overrightarrow{OQ}\| \le 25\) 논증 +7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 교선 원 넓이 \(3\pi\) 도출 +3점 / 수선의 발 정사영을 이용한 최소 거리 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 두 동점 \(P, Q{\kern0pt}{}\)가 독립적으로 구 위를 움직이기 및 때문에 \(P = Q{\kern0pt}{}\)인 조건에서 내적이, 극대·최대치 \(|\overrightarrow{OP}|_{\max}^2 = 25{\kern0pt}{}\)를 가집니다.