2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 9회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (9회차))

[대문항 1] (20점) 상용로그의 및 정수부분과 소수부분의, 조건을 이용한 및 양의 실수, 결정

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 15091 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> 임의의 및 양의 실수, \(N{\kern0pt}{}\)에 관하여 상용로그, \(\log_{10} N = n + \alpha{\kern0pt}{}\) (\(n{\kern0pt}{}\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1{\kern0pt}{}\))로 및 유일하게 나타낼, 때, \(n = [\log_{10} N]{\kern0pt}{}\)을 정수부분, \(\alpha = \log_{10} N - [\log_{10} N]{\kern0pt}{}\)을 소수부분이라 한다.

\(10 \le x \lt 1000{\kern0pt}{}\)인 실수 \(x{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(\log_{10} x{\kern0pt}{}\)의 정수부분과 소수부분의, 성질을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(100 \le x \lt 1000{\kern0pt}{}\)인 조건에서, \(\log_{10} x{\kern0pt}{}\)의 소수부분과 \(\log_{10}(x^2){\kern0pt}{}\)의 소수부분의 합이, \(1{\kern0pt}{}\)이 되도록 하는, 모든 실수 및 \(x{\kern0pt}{}\)의 값들의 곱을, 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) \(100 \le x \lt 1000{\kern0pt}{}\)인 조건에서, \(\log_{10} x{\kern0pt}{}\)의 소수부분과 \(\log_{10}\sqrt{x}{\kern0pt}{}\)의 소수부분의 합이, \(1{\kern0pt}{}\)이 되도록 하는, 모든 실수 및 \(x{\kern0pt}{}\)의 값들의 곱을, 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) \(1 \le k \le 200{\kern0pt}{}\)인 양의 정수, \(k{\kern0pt}{}\)에 관하여 \([\log_{10} k]{\kern0pt}{}\)의 값에 따라, 구간을 나누어 및 합 \(\sum_{k=1}^{200} [\log_{10} k]{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

[중앙대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제9회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 사차등식관계의 실근의, 개수와 3차 및 다항식의 극값, 부호 판별

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 15092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 4차 다항식, \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k{\kern0pt}{}\) (\(k{\kern0pt}{}\)는 실수)의, 극값과 실근의 및 개수를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

최고차항의 계수가, \(1{\kern0pt}{}\)인 4차, 다항식 \(f(x) = x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 24x + k{\kern0pt}{}\) (\(k{\kern0pt}{}\)는 실수)의, 극값과 실근의 및 개수를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 도함수 \(f'(x){\kern0pt}{}\)를 인수분해하여, 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 극수치를, 갖는 모든 및 \(x{\kern0pt}{}\)의 수치를, 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)의 극댓값과, 두 극솟수치를 및 각각 \(k{\kern0pt}{}\)에 대한, 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2),\; x = -1, 0, 2{\kern0pt}{}\) | , [2-2] 극댓값 및 \(k{\kern0pt}{}\), 극솟값, \(k-5,\; k-32{\kern0pt}{}\) | , [2-3] \(0 \lt k \lt 5{\kern0pt}{}\), 정수, \(4{\kern0pt}{}\)개

[중앙대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제9회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 다항함수의, 차수 결정 및 극한과 곡선, 위의 접선의 및 수직 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 15093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 다항함수, \(f(x){\kern0pt}{}\)에 관하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - k}{x - 2} = m{\kern0pt}{}\)이면, \(f(2) = k,\; f'(2) = m{\kern0pt}{}\)이며,, 점 \((2, f(2)){\kern0pt}{}\) 영역에서 접선에 및 수직이며 또한, 같은 점을 및 지나는 법선의, 기울기는 \(-\dfrac{1}{f'(2)}{\kern0pt}{}\) (\(f'(2) \ne 0{\kern0pt}{}\))이다.

최고차항의, 계수가 \(1{\kern0pt}{}\)인 3차 다항식 및 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 \(f(0) = 0{\kern0pt}{}\)이며, 또한 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2{\kern0pt}{}\)를 성립할 때, 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)와 접선·법선을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 주어진, 조건을 적용해 및 \(f(1){\kern0pt}{}\)과 \(f'(1){\kern0pt}{}\)의 수치를 구하고, 및 3차 다항식, \(f(x){\kern0pt}{}\)의 식을 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선, \(y = f(x){\kern0pt}{}\) 위의 점 \(A(2, f(2)){\kern0pt}{}\) 영역에서의 접선 및 \(l_1{\kern0pt}{}\)과 점 \(A{\kern0pt}{}\)를 지나고 \(l_1{\kern0pt}{}\)에 수직인 직선 및 \(l_2{\kern0pt}{}\)의 등식관계을 각각 및 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 직선 \(l_1, l_2{\kern0pt}{}\)와 \(x{\kern0pt}{}\)축으로, 둘러싸인 삼각형의 및 넓이를 산출하시오.

[중앙대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제9회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 원래 함수와 및 역함수의 정적분, 합과 기하적 및 넓이 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 15094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 연속인 및 함수 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)의 역함수를 및 \(y = f^{-1}(x){\kern0pt}{}\)라고 둘 때, 직선, \(y = x{\kern0pt}{}\)에 대한 및 대칭성에 의하여, \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a){\kern0pt}{}\)가 항상 및 성립한다.

실수 전 구간 영역에서, 증가하는 3차 및 다항식 \(f(x) = x^3 + x + 1{\kern0pt}{}\)의 역함수를 및 \(g(x){\kern0pt}{}\)라고 둘 때, 역함수의, 정적분과 둘러싸인 및 넓이를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)와 직선 및 \(y = x{\kern0pt}{}\) 및 두 직선, \(x = 0,\; x = 2{\kern0pt}{}\)로 경계 및 내부 영역, 면적 \(A{\kern0pt}{}\)를 구하고, 및 이를 이용하여, 정적분 \(\int_0^2 \{f(x) - g(x)\}\,dx{\kern0pt}{}\)가 아닌 및 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}\), \(y = g(x){\kern0pt}{}\)와 직선 및 \(x + y = 1,\; x + y = 13{\kern0pt}{}\) 대신 및 \(\int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx{\kern0pt}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)와 그 역함수 \(y = g(x){\kern0pt}{}\) 및 두 직선, \(x + y = 1,\; x + y = 13{\kern0pt}{}\)으로 경계 및 내부 영역, 면적를 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] \(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11,\; \int_1^{11} g(x)\,dx = 14{\kern0pt}{}\) | 및 [4-2] \(A = 6,\; \int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx = 46{\kern0pt}{}\) | 및 [4-3] \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}{\kern0pt}{}\), 넓이 및 \(\dfrac{1}{8}{\kern0pt}{}\)

[중앙대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제9회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 구의 및 등식관계과 벡터의, 내적 분해를 및 이용한 극대·최대치·극소·최소치

기하 Ⅲ-1. 공간도형과 공간좌표 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 15095 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 중심이 및 \(C{\kern0pt}{}\)이며 및 또한 반지름의, 길이가 \(r{\kern0pt}{}\)인 구 위의, 동점 \(P{\kern0pt}{}\)와 정점 \(A, B{\kern0pt}{}\)에 관하여 벡터를, \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}{\kern0pt}{}\)로 분해하면, 구의, 중심을 기준으로 및 내적의 극대·최대치과, 극소·최소치을 구할 및 수 있다.

좌표공간 및 영역에서 구 \(S : (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 4{\kern0pt}{}\) 위의 동점, \(P{\kern0pt}{}\)와 두 점 \(A(0, 0, 0),\; B(4, 4, 2){\kern0pt}{}\)에 관하여 벡터의, 크기와 내적을 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구 \(S{\kern0pt}{}\)의 중심 \(C{\kern0pt}{}\)의 좌표와 반지름, \(r{\kern0pt}{}\)을 구하고, 선분, \(OC{\kern0pt}{}\)의 길이 및 선분 \(OP{\kern0pt}{}\)의 길이의 극대·최대치과, 극소·최소치을 각각 및 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 구 \(S{\kern0pt}{}\) 위의 두 점 \(P, Q{\kern0pt}{}\)에 관하여 내적, \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}{\kern0pt}{}\)의 극대·최대치을 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 구 \(S{\kern0pt}{}\)가 \(xy{\kern0pt}{}\)평면과 및 만나서 생기는, 원 \(D{\kern0pt}{}\)의 넓이와, 원 \(D{\kern0pt}{}\) 위의 점 \(X{\kern0pt}{}\)에 관하여 선분, \(BX{\kern0pt}{}\)의 길이의 극소·최소치을, 산출하시오.

[중앙대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제9회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.