2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (8회차))

[대문항 1] (20점) 실수인 거듭제곱근의 및 개수와 지수·로그, 복합 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 15081 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

<제시문 (가)> 실수 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(2{\kern0pt}{}{}{}\) 이상의 및 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)의 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)제곱근 중 실수인 것의, 개수를 \(N(a, n){\kern0pt}{}{}{}\)이라 하면, 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)이 홀수인 및 조건에서는 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)의 부호에 및 관계없이 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개이며 또한, 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)이 짝수인 및 조건에서는 \(a \gt 0{\kern0pt}{}{}{}\)이면 \(2{\kern0pt}{}{}{}\)개, \(a = 0{\kern0pt}{}{}{}\)이면 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개, \(a \lt 0{\kern0pt}{}{}{}\)이면 \(0{\kern0pt}{}{}{}\)개이다.

\(2 \le n \le 10{\kern0pt}{}{}{}\)인 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \((n^2 - 8n + 12){\kern0pt}{}{}{}\)의 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)제곱근 중 실수인 것의, 개수를 \(f(n){\kern0pt}{}{}{}\)이라고 둘 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(n^2 - 8n + 12{\kern0pt}{}{}{}\)의 부호를 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)의 값에 및 따라 조사하고,, \(n = 2, 3, 4, 5, 6{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 및 \(f(n){\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(\sum_{n=2}^{10} f(n){\kern0pt}{}{}{}\)의 값과 및 \(\sum_{n=2}^{10} n \cdot f(n){\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) [1-1] \(f(2)=1, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=1{\kern0pt}{}{}{}\) | 및 [1-2] \(\sum f(n) = 10,\; \sum n f(n) = 68{\kern0pt}{}{}{}\) | 및 [1-3] \(4 + \log_2 5{\kern0pt}{}{}{}\)

🎯 모범 정답 : [1-1] \(f(2)=1, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=1\) | [1-2] \(\sum f(n) = 10,\; \sum n f(n) = 69\) | [1-3] \(6 + \log_2 5\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(n^2 - 8n + 12 = (n - 2)(n - 6){\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 \(n = 2, 6{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 \(0{\kern0pt}{}{}{}\), \(n = 3, 4, 5{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 음수, \(n = 7, 8, 9, 10{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 양의 실수이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 홀수 \(n = 3, 5, 7, 9{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서는 및 부호에 관계없이, \(f(n) = 1{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 짝수 및 \(n = 2, 6{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서는 및 값이 \(0{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 \(f(2) = f(6) = 1{\kern0pt}{}{}{}\), \(n = 4{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서는 및 음수이기 때문에, \(f(4) = 0{\kern0pt}{}{}{}\), \(n = 8, 10{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서는 및 양의 실수이기, 때문에 \(f(8) = f(10) = 2{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 그러므로 및 \(\sum_{n=2}^{10} f(n) = 1+1+0+1+1+1+2+1+2 = 10{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 및 \(\sum_{n=2}^{10} n f(n) = 2+3+0+5+6+7+16+9+20 = 68{\kern0pt}{}{}{}\)이다!

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(n) = 2{\kern0pt}{}{}{}\)를 만족시키는 및 양의 정수는, \(n = 8, 10{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 \(\log_2 8 + \log_2 10 = 3 + 1 + \log_2 5 = 4 + \log_2 5{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \((n-2)(n-6)\) 인수분해 및 부호 분류 +3점 / \(f(2)\sim f(6)\) 정확 산출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(\sum f(n) = 10\) 도출 +3점 / 가중합 \(\sum n f(n) = 68\) 산출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(f(n) = 2\)인 \(n = 8, 10\) 판별 +4점 / 로그 합 \(4 + \log_2 5\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(n = 2, 6{\kern0pt}{}{}{}\)은 짝수이지만 및 피제곱근이 \(0{\kern0pt}{}{}{}\)이 되므로 및 실수인 거듭제곱근이, \(2{\kern0pt}{}{}{}\)개가 아니라 및 \(0{\kern0pt}{}{}{}\) 하나뿐(\(1{\kern0pt}{}{}{}\)개)이라는 점이 및 핵심 변별, 포인트입니다.

[대문항 2] (20점) 무리식을 및 포함한 함수의, 극한과 미정계수 및 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 15082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 두 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 극한, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립할 때,, 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)와 관련된 무한대, 극한을 분석하려 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

두 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 극한, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 5} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립할 때,, 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)와 관련된 무한대, 극한을 분석하려 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 위 영역에서 구한, \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 극한값, \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 8} - x\right){\kern0pt}{}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 부등식, \(\sqrt{n^2 + an + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}{\kern0pt}{}{}{}\)을 만족시키는 최소의, 양의 정수 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] 및 \(a = 2,\; b = 4{\kern0pt}{}{}{}\) | [2-2], 극한값 \(1{\kern0pt}{}{}{}\) | [2-3], \(n = 34{\kern0pt}{}{}{}\)

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 2,\; b = 3\)이 아닌 \(b = 4,\; a = 2\) 검산: \(b = 4 \implies 4 + 2a + 5 = 16 \implies 2a = 7\) 대신 깔끔한 정수를 위해 \(\sqrt{x^2 + ax + 3}\)으로 정합화 아래 참조

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 분모가 및 \(0{\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 수렴하므로 분자도, \(0{\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 수렴해야 하며, 켤레식을 곱해 및 약분한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 \(x^2 + ax + 8 = (x - 2)(x + 2 + a) + 12 + 2a - b^2{\kern0pt}{}{}{}\)이기 및 때문에 \(\dfrac{4 + a}{2b} = \dfrac{3}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)과 \(\sqrt{12 + 2a} = b{\kern0pt}{}{}{}\)를 연립하면 \(a = 2,\; b = 4{\kern0pt}{}{}{}\)이다! 및 이때 \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 8} - x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x + 8}{\sqrt{x^2+2x+8} + x} = 1{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sqrt{n^2 + 2n + 8} \gt n + \dfrac{3}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)의 양변을 제곱하면, \(n^2 + 2n + 8 \gt n^2 + \dfrac{3}{2}n + \dfrac{9}{16}{\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 모든 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 성립하므로, 부등식을 \(\sqrt{n^2 + 2n + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}{\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 두면 \(\dfrac{1}{5}n \gt 8 - \dfrac{121}{100} = \dfrac{679}{100} \implies n \ge 34{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 분자 영인자 조건 및 유리화 +3점 / \(a = 2,\; b = 4\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 무한대 극한 유리화 변형 +4점 / 극한값 \(1\) 산출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 양변 제곱 동치 부등식 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 34\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x \to 2{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 분자를, 유리화하면 \(\sqrt{x^2 + ax + 8} - \sqrt{12 + 2a} = \dfrac{(x - 2)(x + 2 + a)}{\sqrt{x^2+ax+8} + b}{\kern0pt}{}{}{}\)로 인수분해되어 \((x-2){\kern0pt}{}{}{}\)가 즉시 약분됩니다.

[대문항 3] (20점) 이차곡선과 접선으로, 경계 내부 및 영역 면적의, 극소·최소치

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 15083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 \(y = x^2{\kern0pt}{}{}{}\)과 포물선, 위의 점 \((t, t^2){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의, 접선 및 직선 \(x = k{\kern0pt}{}{}{}\)로 경계, 내부 영역 및 면적는 피적분함수, \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2{\kern0pt}{}{}{}\)이 항상, \(0{\kern0pt}{}{}{}\) 이상이기, 때문에 완전제곱식의 및 정적분으로 계산된다.

포물선 \(y = x^2{\kern0pt}{}{}{}\) 위의, 점 \(P(t, t^2){\kern0pt}{}{}{}\) (\(0 \le t \le 2{\kern0pt}{}{}{}\)) 영역에서의, 접선을 \(l_t{\kern0pt}{}{}{}\)라고 둘 때, 포물선 및 \(y = x^2{\kern0pt}{}{}{}\)과 접선, \(l_t{\kern0pt}{}{}{}\) 및 두 직선 및 \(x = 0,\; x = 2{\kern0pt}{}{}{}\)로 경계, 내부 영역 및 면적를 \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)라 하자., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 접선 \(l_t{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계을, 구하고, 모든 및 실수 \(x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여, \(x^2 \ge 2tx - t^2{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립함을, 이용하여 \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)를 정적분, 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 정적분을 계산하여, \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)를 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한, 포물선 함수로 및 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) \(0 \le t \le 2{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, 넓이 \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)가 최소가, 되도록 하는 및 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)의 값과, 그때의 극소·최소치, 및 극대·최대치을 각각, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(l_t : y = 2tx - t^2,\; S(t) = \int_0^2 (x - t)^2\,dx\) | [3-2] \(S(t) = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}\) | [3-3] \(t = 1\)에서 최솟값 \(\dfrac{2}{3}\), 최댓값 \(\dfrac{8}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 점 \(P(t, t^2){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의, 접선의 기울기는 및 \(2t{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, \(l_t : y = 2tx - t^2{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2 \ge 0{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S(t) = \int_0^2 (x - t)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - t)^3\right]_0^2 = \dfrac{1}{3}\{(2 - t)^3 + t^3\} = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S(t) = 2(t - 1)^2 + \dfrac{2}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, 구간의 중점인 및 \(t = 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서, 극소·최소치 \(\dfrac{2}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)를 갖고,, \(t = 0{\kern0pt}{}{}{}\) 또는, \(t = 2{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서, 극대·최대치 \(\dfrac{8}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)를 갖는다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 접선 \(y = 2tx - t^2\) 도출 +3점 / 완전제곱 피적분함수 \((x-t)^2\) 설정 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 정적분 전개 +4점 / \(S(t) = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 완전제곱식 \(2(t-1)^2 + \dfrac{2}{3}\) 변형 +3점 / 최솟값 \(\dfrac{2}{3},\;\) 최댓값 \(\dfrac{8}{3}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \((x - t)^2{\kern0pt}{}{}{}\)을 전개하지, 않고 바로 및 \(\left[\dfrac{1}{3}(x - t)^3\right]_0^2{\kern0pt}{}{}{}\)로 적분한, 뒤 인수분해 및 공식 \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2){\kern0pt}{}{}{}\)을 쓰면, 계산 실수를 및 줄일 수 있습니다.

[대문항 4] (20점) 정적분으로, 정의된 함수의 및 극대·극소와 닫힌구간, 최대·최소

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속인, 함수 \(f(t){\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(g(x) = \int_a^x f(t)\,dt{\kern0pt}{}{}{}\)로 정의된 함수는 및 \(g'(x) = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)를 만족시키며, \(f(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 부호가 양 영역에서 음으로, 바뀌는 점 영역에서 극댓수치를, 갖고 음 영역에서 양으로, 바뀌는 점 영역에서 극솟수치를, 갖는다.

포물선, 함수 \(f(x) = 3x^2 - 6x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 함수 및 \(g(x) = \int_0^x f(t)\,dt + 4{\kern0pt}{}{}{}\)로 정의할 때, 및 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 그래프와 실근을 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수, \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 도함수 \(g'(x){\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, 함수 및 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 극댓값과 극솟수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간, \([-1, 3]{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 함수 및 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 극대·최대치 \(M{\kern0pt}{}{}{}\)과 극소·최소치 \(m{\kern0pt}{}{}{}\)을 각각 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선, \(y = g(x){\kern0pt}{}{}{}\)와 직선 \(y = 4{\kern0pt}{}{}{}\)로 경계 내부 및 영역 면적를, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(g'(x) = 3x(x-2)\), 극댓값 \(4\), 극솟값 \(0\) | [4-2] \(M = 4,\; m = 0\) | [4-3] \(\dfrac{27}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g'(x) = f(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2){\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한 \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 4{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 0{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 극댓값 및 \(g(0) = 4{\kern0pt}{}{}{}\), \(x = 2{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 극솟값 및 \(g(2) = 8 - 12 + 4 = 0{\kern0pt}{}{}{}\)을 갖는다. 구간 및 양 끝점, 함숫값은 \(g(-1) = -1 - 3 + 4 = 0,\; g(3) = 27 - 27 + 4 = 4{\kern0pt}{}{}{}\)이기, 때문에 닫힌구간 및 \([-1, 3]{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 극대·최대치은 및 \(M = 4{\kern0pt}{}{}{}\), 극소·최소치은 \(m = 0{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x) - 4 = x^2(x - 3) = 0{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 교점은 및 \(x = 0{\kern0pt}{}{}{}\) (접점)과 \(x = 3{\kern0pt}{}{}{}\)이기, 때문에 둘러싸인 및 넓이는 \(\int_0^3 (4 - g(x))\,dx = \int_0^3 (3x^2 - x^3)\,dx = \left[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 도출 +3점 / 극댓값 \(4,\;\) 극솟값 \(0\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 경계값 \(g(-1)=0,\; g(3)=4\) 비교 +4점 / \(M = 4,\; m = 0\) 확정 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 적분 구간 \([0, 3]\) 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 3차, 다항식 비율 및 관계 \(1 : 2{\kern0pt}{}{}{}\)에 의해 \(g(0) = g(3) = 4{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한 \(g(2) = g(-1) = 0{\kern0pt}{}{}{}\)임을, 확인하면 최대·최소 및 검산이 완벽해집니다.

[대문항 5] (20점) 타원의 초점 및 정의와 코사인법칙을, 이용한 초점삼각형 및 넓이

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 15085 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1{\kern0pt}{}{}{}\) (\(a \gt b \gt 0{\kern0pt}{}{}{}\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\kern0pt}{}{}{}\) (\(c = \sqrt{a^2 - b^2}{\kern0pt}{}{}{}\))에 관하여 및 타원 위의, 임의의 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\)는 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a{\kern0pt}{}{}{}\)를 만족시킨다.

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1{\kern0pt}{}{}{}\)의 두 초점을 \(F, F'{\kern0pt}{}{}{}\)이라 하고, 및 타원 위의, 제1사분면의 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\)가 \(\angle F'PF = \dfrac{\pi}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)를 성립할 및 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 타원의 장축의 및 길이 \(2a{\kern0pt}{}{}{}\)와 두 초점 사이의, 거리 \(\overline{FF'} = 2c{\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, 및 코사인법칙을 이용하여, \(\overline{PF} \cdot \overline{PF'}{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}{}\)의 넓이 및 \(S{\kern0pt}{}{}{}\)와 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\)의 \(y{\kern0pt}{}{}{}\)좌표를 각각 및 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}{}\)의 내접원의 및 반지름 \(r{\kern0pt}{}{}{}\)과 외접원의 및 반지름 \(R{\kern0pt}{}{}{}\)을 각각 및 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(2a = 10,\; 2c = 8,\; \overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12\) | [5-2] \(S = 3\sqrt{3},\; y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) | [5-3] \(r = \dfrac{\sqrt{3}}{3},\; R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a = 5, b = 3 \implies c = 4{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 10{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한 및 \(\overline{FF'} = 8{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 코사인법칙 영역에서 및 \(8^2 = \overline{PF}^2 + \overline{PF'}^2 - \overline{PF}\cdot\overline{PF'} = (\overline{PF}+\overline{PF'})^2 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 100 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'}{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 \(\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 그러므로 및 \(S = \dfrac{1}{2} \times 12 \sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 및 \(\dfrac{1}{2} \times 8 \times y_P = 3\sqrt{3} \implies y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}{}\)의 둘레의 및 길이는 \(10 + 8 = 18{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 \(\dfrac{1}{2} \times 18 \times r = 3\sqrt{3} \implies r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 및 사인법칙 영역에서, \(R = \dfrac{8}{2\sin(\pi/3)} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(2a = 10,\; 2c = 8\) 도출 +2점 / 코사인법칙으로 \(\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12\) 산출 +4점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = 3\sqrt{3}\) 계산 +4점 / \(y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 산출 +4점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\overline{PF}, \overline{PF'}{\kern0pt}{}{}{}\)를 각각 및 구하지 않고, 곱셈 공식 및 변형 \(p^2 + q^2 - pq = (p+q)^2 - 3pq{\kern0pt}{}{}{}\)를 쓰면 및 곱 \(pq = 12{\kern0pt}{}{}{}\)를 한 줄에 얻을, 수 있습니다.