2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 8회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (8회차))

[대문항 1] (20점) 실수인 거듭제곱근의 및 개수와 지수·로그, 복합 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 15081 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

<제시문 (가)> 실수 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(2{\kern0pt}{}{}{}\) 이상의 및 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)의 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)제곱근 중 실수인 것의, 개수를 \(N(a, n){\kern0pt}{}{}{}\)이라 하면, 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)이 홀수인 및 조건에서는 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)의 부호에 및 관계없이 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개이며 또한, 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)이 짝수인 및 조건에서는 \(a \gt 0{\kern0pt}{}{}{}\)이면 \(2{\kern0pt}{}{}{}\)개, \(a = 0{\kern0pt}{}{}{}\)이면 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개, \(a \lt 0{\kern0pt}{}{}{}\)이면 \(0{\kern0pt}{}{}{}\)개이다.

\(2 \le n \le 10{\kern0pt}{}{}{}\)인 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \((n^2 - 8n + 12){\kern0pt}{}{}{}\)의 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)제곱근 중 실수인 것의, 개수를 \(f(n){\kern0pt}{}{}{}\)이라고 둘 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(n^2 - 8n + 12{\kern0pt}{}{}{}\)의 부호를 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)의 값에 및 따라 조사하고,, \(n = 2, 3, 4, 5, 6{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 및 \(f(n){\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(\sum_{n=2}^{10} f(n){\kern0pt}{}{}{}\)의 값과 및 \(\sum_{n=2}^{10} n \cdot f(n){\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) [1-1] \(f(2)=1, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=1{\kern0pt}{}{}{}\) | 및 [1-2] \(\sum f(n) = 10,\; \sum n f(n) = 68{\kern0pt}{}{}{}\) | 및 [1-3] \(4 + \log_2 5{\kern0pt}{}{}{}\)

[중앙대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제8회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 무리식을 및 포함한 함수의, 극한과 미정계수 및 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 15082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 두 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 극한, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립할 때,, 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)와 관련된 무한대, 극한을 분석하려 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

두 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 극한, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 5} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립할 때,, 상수 \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)와 관련된 무한대, 극한을 분석하려 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 위 영역에서 구한, \(a, b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 극한값, \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 8} - x\right){\kern0pt}{}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 부등식, \(\sqrt{n^2 + an + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}{\kern0pt}{}{}{}\)을 만족시키는 최소의, 양의 정수 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] 및 \(a = 2,\; b = 4{\kern0pt}{}{}{}\) | [2-2], 극한값 \(1{\kern0pt}{}{}{}\) | [2-3], \(n = 34{\kern0pt}{}{}{}\)

[중앙대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제8회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 이차곡선과 접선으로, 경계 내부 및 영역 면적의, 극소·최소치

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 15083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 \(y = x^2{\kern0pt}{}{}{}\)과 포물선, 위의 점 \((t, t^2){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의, 접선 및 직선 \(x = k{\kern0pt}{}{}{}\)로 경계, 내부 영역 및 면적는 피적분함수, \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2{\kern0pt}{}{}{}\)이 항상, \(0{\kern0pt}{}{}{}\) 이상이기, 때문에 완전제곱식의 및 정적분으로 계산된다.

포물선 \(y = x^2{\kern0pt}{}{}{}\) 위의, 점 \(P(t, t^2){\kern0pt}{}{}{}\) (\(0 \le t \le 2{\kern0pt}{}{}{}\)) 영역에서의, 접선을 \(l_t{\kern0pt}{}{}{}\)라고 둘 때, 포물선 및 \(y = x^2{\kern0pt}{}{}{}\)과 접선, \(l_t{\kern0pt}{}{}{}\) 및 두 직선 및 \(x = 0,\; x = 2{\kern0pt}{}{}{}\)로 경계, 내부 영역 및 면적를 \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)라 하자., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 접선 \(l_t{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계을, 구하고, 모든 및 실수 \(x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여, \(x^2 \ge 2tx - t^2{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립함을, 이용하여 \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)를 정적분, 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 정적분을 계산하여, \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)를 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한, 포물선 함수로 및 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) \(0 \le t \le 2{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, 넓이 \(S(t){\kern0pt}{}{}{}\)가 최소가, 되도록 하는 및 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)의 값과, 그때의 극소·최소치, 및 극대·최대치을 각각, 산출하시오.

[중앙대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제8회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 정적분으로, 정의된 함수의 및 극대·극소와 닫힌구간, 최대·최소

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속인, 함수 \(f(t){\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(g(x) = \int_a^x f(t)\,dt{\kern0pt}{}{}{}\)로 정의된 함수는 및 \(g'(x) = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)를 만족시키며, \(f(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 부호가 양 영역에서 음으로, 바뀌는 점 영역에서 극댓수치를, 갖고 음 영역에서 양으로, 바뀌는 점 영역에서 극솟수치를, 갖는다.

포물선, 함수 \(f(x) = 3x^2 - 6x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 함수 및 \(g(x) = \int_0^x f(t)\,dt + 4{\kern0pt}{}{}{}\)로 정의할 때, 및 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 그래프와 실근을 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수, \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 도함수 \(g'(x){\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, 함수 및 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 극댓값과 극솟수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간, \([-1, 3]{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 함수 및 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\)의 극대·최대치 \(M{\kern0pt}{}{}{}\)과 극소·최소치 \(m{\kern0pt}{}{}{}\)을 각각 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선, \(y = g(x){\kern0pt}{}{}{}\)와 직선 \(y = 4{\kern0pt}{}{}{}\)로 경계 내부 및 영역 면적를, 산출하시오.

[중앙대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제8회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 타원의 초점 및 정의와 코사인법칙을, 이용한 초점삼각형 및 넓이

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 15085 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1{\kern0pt}{}{}{}\) (\(a \gt b \gt 0{\kern0pt}{}{}{}\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\kern0pt}{}{}{}\) (\(c = \sqrt{a^2 - b^2}{\kern0pt}{}{}{}\))에 관하여 및 타원 위의, 임의의 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\)는 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a{\kern0pt}{}{}{}\)를 만족시킨다.

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1{\kern0pt}{}{}{}\)의 두 초점을 \(F, F'{\kern0pt}{}{}{}\)이라 하고, 및 타원 위의, 제1사분면의 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\)가 \(\angle F'PF = \dfrac{\pi}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)를 성립할 및 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 타원의 장축의 및 길이 \(2a{\kern0pt}{}{}{}\)와 두 초점 사이의, 거리 \(\overline{FF'} = 2c{\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, 및 코사인법칙을 이용하여, \(\overline{PF} \cdot \overline{PF'}{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}{}\)의 넓이 및 \(S{\kern0pt}{}{}{}\)와 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\)의 \(y{\kern0pt}{}{}{}\)좌표를 각각 및 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}{}\)의 내접원의 및 반지름 \(r{\kern0pt}{}{}{}\)과 외접원의 및 반지름 \(R{\kern0pt}{}{}{}\)을 각각 및 산출하시오.

[중앙대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제8회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.