2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (7회차))

[대문항 1] (20점) 등차항열의, 곱의 역수 및 급수와 부분분수, 망원합 추론

대수 Ⅲ-2. 수열의 합 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 15071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 첫째항이, \(a{\kern0pt}{}{}\), 공차가 \(d{\kern0pt}{}{}\) (\(d \ne 0{\kern0pt}{}{}\))인, 등차항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k} - \dfrac{1}{a_{k+1}}\right){\kern0pt}{}{}\)로 변형하면 첫째항과 및 끝항만 남는, 망원급수 합을 및 구할 수 있다.

첫째항이, \(1{\kern0pt}{}{}\), 공차가 \(2{\kern0pt}{}{}\)인 등차항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 항열의 및 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}{\kern0pt}{}{}\)과 가중합을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 항열, \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항을 구하고, 및 주어진 조건을, 적용해 부분합 및 \(S_n{\kern0pt}{}{}\)을 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 대한 기약분수 및 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_k + a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2}{\kern0pt}{}{}\)을 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 대한 식으로 및 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식, \(S_n + T_n \gt \dfrac{99}{100}{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 최소의 및 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(a_n = 2n - 1,\; S_n = \dfrac{n}{2n + 1}\) | [1-2] \(T_n = \dfrac{n(n + 1)}{(2n + 1)^2}\)이 아닌 \(\dfrac{1}{4}\left(1 - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = \dfrac{n(n+1)}{(2n+1)^2}\) | [1-3] \(n = 7\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_k = 2k - 1,\; a_{k+1} = 2k + 1{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한 \(a_{k+1} - a_k = 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S_n = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}{\kern0pt}{}{}\)이다., 또한 \(a_{k+1}^2 - a_k^2 = 2(a_k + a_{k+1}){\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 \(\dfrac{a_k+a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_k^2}-\dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(T_n = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = \dfrac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S_n + T_n = \dfrac{1}{2}\left(2 - \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = 1 - \dfrac{2n + 2}{2(2n+1)^2} = 1 - \dfrac{n + 1}{(2n+1)^2} \gt 1 - \dfrac{1}{100} \iff \dfrac{(2n+1)^2}{n+1} \gt 100{\kern0pt}{}{}\)이다., \(n = 24{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서 \(\dfrac{49^2}{25} = \dfrac{2401}{25} = 96.04 \lt 100{\kern0pt}{}{}\), \(n = 25{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서 \(\dfrac{51^2}{26} = \dfrac{2601}{26} \gt 100{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 최소 및 양의 정수는, \(n = 25{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(a_n = 2n - 1\) 도출 +2점 / \(S_n = \dfrac{n}{2n+1}\) 산출 +4점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 제곱차 망원 변형 \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_k^2}-\dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right)\) +4점 / \(T_n = \dfrac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}\) 도출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(1 - \dfrac{n+1}{(2n+1)^2} \gt \dfrac{99}{100}\) 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 25\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_{k+1}^2 - a_k^2 = (a_{k+1}-a_k)(a_{k+1}+a_k) = 2(a_k+a_{k+1}){\kern0pt}{}{}\) 항등식을 이용하면 및 제곱 역수, 망원급수로 즉시 및 분해됩니다.

[대문항 2] (20점) 선형 귀납 및 관계식의 계차항열, 변환과 부분합 및 극한

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 15072 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_{n+1} - a_n = f(n){\kern0pt}{}{}\)을 성립할 및 때, \(n \ge 2{\kern0pt}{}{}\)인 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k){\kern0pt}{}{}\)가 항상 및 성립한다.

항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_1 = 2{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 모든 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(a_{n+1} = a_n + 2n{\kern0pt}{}{}\)을 성립할 및 때, 항열, \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항과 및 역수 급수를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 주어진 조건을 및 적용해 항열, \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항 및 \(a_n{\kern0pt}{}{}\)을 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}{\kern0pt}{}{}\)을 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 대한 및 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n - 1}{a_n (a_n + 2n - 1)}{\kern0pt}{}{}\)을 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 대한 및 식으로 나타내시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a_n = n^2 - n + 2\) | [2-2] \(a_n - 1 = n^2 - n + 1\) 비교 증명 | [2-3] \(S_m = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + (n - 1)n = n^2 - n + 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a_{n+1} - a_n = 2n{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(\dfrac{2n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}{\kern0pt}{}{}\)이다. 그러므로 및 \(S_m = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{m+1}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a_n + 2n - 1 = (n^2 - n + 2) + 2n - 1 = n^2 + n + 1{\kern0pt}{}{}\)이 아닌 및 \(a_{n+1} = a_n + 2n{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 일반항 \(\dfrac{2n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}{\kern0pt}{}{}\)을 이용하도록 및 문제를 \(\sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}{\kern0pt}{}{}\)로 정합화하면 및 \(S_m = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{m+1}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 계차 합산으로 \(a_n = n^2 - n + 2\) 도출 +6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 분모 대소 비교 \(n(n-1) \lt n^2 - n + 1 \lt n(n+1)\) 증명 +7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(a_{n+1} - a_n = 2n\) 망원 변형 +4점 / \(S_m = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2+m+2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점화식 \(a_{n+1} - a_n = 2n{\kern0pt}{}{}\) 자체를 및 분자의 \(2n{\kern0pt}{}{}\)에 대입하면 및 일반항을 대입하지, 않고도 즉시 및 부분분수로 분해됩니다.

[대문항 3] (20점) 4차 및 다항식 그래프와, 이중접선으로 경계 및 내부 영역, 면적

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 탐구 15073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 4차 및 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1{\kern0pt}{}{}\)의 그래프에 동시에, 두 점 영역에서 접하는, 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)과 둘러싸인 넓이를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

4차 및 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1{\kern0pt}{}{}\)의 그래프에 동시에, 두 점 영역에서 접하는, 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)과 둘러싸인 넓이를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 직선 및 \(l : y = mx + n{\kern0pt}{}{}\)이 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}\)에 각각 상이한, 두 점 \(x = \alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\kern0pt}{}{}\)) 영역에서 접할, 때, 항등식 및 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2{\kern0pt}{}{}\)의 계수를 비교하여, \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\)와 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)의 등식관계을 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓점을 구하고,, 극댓점 영역에서의 및 접선이 직선, \(l{\kern0pt}{}{}\)과 평행함을 보이시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] 및 \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; l : y = 2x + 1{\kern0pt}{}{}\) | [3-2], 극댓점 \((1, 4){\kern0pt}{}{}\), 기울기 \(2{\kern0pt}{}{}\) | [3-3], \(\dfrac{16}{15}{\kern0pt}{}{}\)

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\alpha = -1,\; \beta = 2\)가 아닌 \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; l : y = -2x^2\) 수정: \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)이면 \(\alpha=0, \beta=2,\; l : y = 2x + 1\) | [3-2] 극댓점 \((1, 4)\), 기울기 \(2\) | [3-3] \(\dfrac{16}{15}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \((x - \alpha)^2(x - \beta)^2 = \{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}^2{\kern0pt}{}{}\)을 전개하여 삼차항과, 이차항 계수를 및 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(f(x) - (2x + 1) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 = x^2(x - 2)^2{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 두 접점의 \(x{\kern0pt}{}{}\)좌표는 및 \(\alpha = 0,\; \beta = 2{\kern0pt}{}{}\)이며 및 또한 이중접선은, \(l : y = 2x + 1{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x + 2{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(f'(x) = 2 \iff 4x(x - 1)(x - 2) = 0{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 \(x = 1{\kern0pt}{}{}\)인 점 \((1, 4){\kern0pt}{}{}\) 영역에서의 접선의, 기울기는 \(2{\kern0pt}{}{}\)로 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)과 평행하다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘러싸인 및 넓이는 \(S = \int_0^2 x^2(x - 2)^2\,dx = \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\dfrac{1}{5}x^5 - x^4 + \dfrac{4}{3}x^3\right]_0^2 = \dfrac{32}{5} - 16 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{15}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 완전제곱 인수분해 \(x^2(x-2)^2\) 유도 +3점 / \(\alpha=0, \beta=2\) 및 \(l : y = 2x + 1\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f'(x) - 2 = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +4점 / 점 \((1, 4)\) 평행 접선 증명 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 정적분 \(\int_0^2 x^2(x-2)^2\,dx\) 전개 +3점 / 넓이 \(\dfrac{16}{15}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 4차 및 다항식와 이중접선의, 차함수 \(h(x) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2{\kern0pt}{}{}\)는 두 접점의, 중점 \(x = \dfrac{\alpha + \beta}{2}{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 대칭이기, 때문에 중점 및 영역에서 접선이, 이중접선과 평행합니다.

[대문항 4] (20점) 쌍곡선의 정의와, 점근선에 평행한 및 직선의 기하적, 성질

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 15074 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1{\kern0pt}{}{}\) (\(a \gt 0, b \gt 0{\kern0pt}{}{}\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\kern0pt}{}{}\) (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}{\kern0pt}{}{}\))에 관하여, 쌍곡선 위의 및 점 \(P{\kern0pt}{}{}\)는 \(|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2a{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키며,, 점근선의 등식관계은 및 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x{\kern0pt}{}{}\)이다.

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1{\kern0pt}{}{}\)의 두 초점을 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\kern0pt}{}{}\) (\(c \gt 0{\kern0pt}{}{}\))이라 하고,, 제1사분면에 있는 및 쌍곡선 위의, 점 \(P{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, \(\triangle PF'F{\kern0pt}{}{}\)가 \(\overline{PF'} = \overline{F'F}{\kern0pt}{}{}\)인 이등변삼각형인, 조건에서, 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 쌍곡선의 주축의, 길이 \(2a{\kern0pt}{}{}\), 두 초점의 좌표 및 및 두 점근선의 등식관계을 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 주어진 조건을, 적용해 선분 및 \(PF'{\kern0pt}{}{}\)과 선분, \(PF{\kern0pt}{}{}\)의 길이를, 각각 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}\)의 넓이, \(S{\kern0pt}{}{}\)와 초점, \(F{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 두 점근선에 및 내린 수선의, 발을 \(H_1, H_2{\kern0pt}{}{}\)라고 둘 때 사각형 및 \(OH_1 F H_2{\kern0pt}{}{}\)의 넓이를, 각각 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(2a = 6,\; F(5,0), F'(-5,0),\; y = \pm\dfrac{4}{3}x\) | [4-2] \(\overline{PF'} = 10,\; \overline{PF} = 4\) | [4-3] \(S = 8\sqrt{6},\; \text{사각형 넓이 } 12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a = 3, b = 4 \implies c = \sqrt{9 + 16} = 5{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(2a = 6{\kern0pt}{}{}\), 초점은, \((\pm 5, 0){\kern0pt}{}{}\), 점근선은, \(y = \pm\dfrac{4}{3}x{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{PF'} = \overline{F'F} = 2c = 10{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, 제1사분면의 점이기 및 때문에 \(\overline{PF'} - \overline{PF} = 6 \implies \overline{PF} = 10 - 6 = 4{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 이등변삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}\)의 밑변, \(\overline{PF} = 4{\kern0pt}{}{}\)의 중점을, \(M{\kern0pt}{}{}\)이라 하면, 높이는 \(\sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(S = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6}{\kern0pt}{}{}\)이다. 초점, \(F(5, 0){\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 점근선 \(4x - 3y = 0{\kern0pt}{}{}\)까지의 거리는, \(\overline{FH_1} = \dfrac{20}{5} = 4{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, \(\overline{OH_1} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, 사각형 \(OH_1 F H_2{\kern0pt}{}{}\)의 넓이는, \(2 \times \left(\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4\right) = 12{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(c = 5\) 및 점근선 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\) 도출 +3점 / 주축 \(6\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(\overline{PF'} = 10\) 확인 +3점 / 쌍곡선 정의로 \(\overline{PF} = 4\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(\triangle PF'F\) 넓이 \(8\sqrt{6}\) 계산 +4점 / 사각형 넓이 \(12\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선의 초점, \((c, 0){\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 점근선 \(bx \pm ay = 0{\kern0pt}{}{}\)에 내린, 수선의 길이는 및 항상 \(b{\kern0pt}{}{}\), 원점, 영역에서 수선의 및 발까지의 거리는, 항상 \(a{\kern0pt}{}{}\)가 됩니다.

[대문항 5] (20점) 중복조합을, 이용한 부정등식관계의 및 정수해 개수와, 확률

확률과 통계 Ⅰ-1. 경우의 수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.4 탐구 15075 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

<제시문 (가)> 각각, 상이한 \(n{\kern0pt}{}{}\)개 영역에서 중복을 및 허락하여 \(r{\kern0pt}{}{}\)개를, 택하는 중복조합의 및 수는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}{\kern0pt}{}{}\)이며,, 등식관계 \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = r{\kern0pt}{}{}\)의 음이 아닌 및 정수해의 개수와, 같다.

네 개의 음이 및 아닌 정수, \(x, y, z, w{\kern0pt}{}{}\)가 등식관계 \(x + y + z + w = 10{\kern0pt}{}{}\)을 성립할 때, 및 순서쌍 \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)의 개수와 확률을 및 분석하려 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 등식관계, \(x + y + z + w = 10{\kern0pt}{}{}\)을 만족시키는 음이 및 아닌 정수해, \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)의 전체 개수 및 \(N{\kern0pt}{}{}\)을 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 위 해 중 영역에서 \(x, y, z, w{\kern0pt}{}{}\)가 모두 양의 및 홀수인 순서쌍, \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)의 개수 \(A{\kern0pt}{}{}\)와 모두 양의 및 짝수인 순서쌍의, 개수 \(B{\kern0pt}{}{}\)를 각각 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 전체, 음이 아닌 및 정수해 \(N{\kern0pt}{}{}\)개 중 영역에서 및 임의로 택한, 하나의 순서쌍 및 \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)가 \(x \ge 2,\; y \ge 1{\kern0pt}{}{}\)을 만족시킬 확률을 및 기약분수로 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(N = 286\) | [5-2] \(A = 20,\; B = 4\) | [5-3] \(\dfrac{15}{26}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(N = {}_{4}\mathrm{H}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{3}{\kern0pt}{}{}\)을 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(N = \dfrac{13 \times 12 \times 11}{6} = 286{\kern0pt}{}{}\)이다., 모두 양의 및 홀수이면 \(x = 2a+1, y = 2b+1, z = 2c+1, w = 2d+1{\kern0pt}{}{}\) (\(a,b,c,d \ge 0{\kern0pt}{}{}\))로, 치환하여 \(a + b + c + d = 3{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(A = {}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20{\kern0pt}{}{}\)이다., 모두 양의 및 짝수이면 \(x = 2a+2, \dots{\kern0pt}{}{}\)로 치환하여 \(a + b + c + d = 1{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(B = {}_{4}\mathrm{H}_{1} = 4{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = x' + 2,\; y = y' + 1{\kern0pt}{}{}\) (\(x', y' \ge 0{\kern0pt}{}{}\))로, 치환하면 \(x' + y' + z + w = 7{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 조건을 및 만족시키는 순서쌍의, 개수는 \({}_{4}\mathrm{H}_{7} = {}_{10}\mathrm{C}_{3} = 120{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한, 확률은 및 \(\dfrac{120}{286} = \dfrac{60}{143}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 중복조합 \({}_{4}\mathrm{H}_{10}\) 적용 +3점 / \(N = 286\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 홀수 치환 \(A = {}_{4}\mathrm{H}_{3} = 20\) 도출 +4점 / 짝수 치환 \(B = {}_{4}\mathrm{H}_{1} = 4\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 하한 치환 \({}_{4}\mathrm{H}_{7} = 120\) 계산 +4점 / 기약분수 \(\dfrac{60}{143}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(120 / 286{\kern0pt}{}{}\)을 \(2{\kern0pt}{}{}\)로 약분한 \(\dfrac{60}{143}{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(143 = 11 \times 13{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 더 이상 약분되지, 않는 기약분수임을 및 확인합니다.