2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 7회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (7회차))

[대문항 1] (20점) 등차항열의, 곱의 역수 및 급수와 부분분수, 망원합 추론

대수 Ⅲ-2. 수열의 합 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 15071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 첫째항이, \(a{\kern0pt}{}{}\), 공차가 \(d{\kern0pt}{}{}\) (\(d \ne 0{\kern0pt}{}{}\))인, 등차항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k} - \dfrac{1}{a_{k+1}}\right){\kern0pt}{}{}\)로 변형하면 첫째항과 및 끝항만 남는, 망원급수 합을 및 구할 수 있다.

첫째항이, \(1{\kern0pt}{}{}\), 공차가 \(2{\kern0pt}{}{}\)인 등차항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 항열의 및 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}{\kern0pt}{}{}\)과 가중합을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 항열, \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항을 구하고, 및 주어진 조건을, 적용해 부분합 및 \(S_n{\kern0pt}{}{}\)을 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 대한 기약분수 및 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_k + a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2}{\kern0pt}{}{}\)을 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 대한 식으로 및 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식, \(S_n + T_n \gt \dfrac{99}{100}{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 최소의 및 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[중앙대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제7회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 선형 귀납 및 관계식의 계차항열, 변환과 부분합 및 극한

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 15072 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_{n+1} - a_n = f(n){\kern0pt}{}{}\)을 성립할 및 때, \(n \ge 2{\kern0pt}{}{}\)인 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k){\kern0pt}{}{}\)가 항상 및 성립한다.

항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_1 = 2{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 모든 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(a_{n+1} = a_n + 2n{\kern0pt}{}{}\)을 성립할 및 때, 항열, \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항과 및 역수 급수를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 주어진 조건을 및 적용해 항열, \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항 및 \(a_n{\kern0pt}{}{}\)을 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}{\kern0pt}{}{}\)을 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 대한 및 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n - 1}{a_n (a_n + 2n - 1)}{\kern0pt}{}{}\)을 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 대한 및 식으로 나타내시오.

[중앙대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제7회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 4차 및 다항식 그래프와, 이중접선으로 경계 및 내부 영역, 면적

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 탐구 15073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 4차 및 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1{\kern0pt}{}{}\)의 그래프에 동시에, 두 점 영역에서 접하는, 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)과 둘러싸인 넓이를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

4차 및 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1{\kern0pt}{}{}\)의 그래프에 동시에, 두 점 영역에서 접하는, 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)과 둘러싸인 넓이를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 직선 및 \(l : y = mx + n{\kern0pt}{}{}\)이 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}\)에 각각 상이한, 두 점 \(x = \alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\kern0pt}{}{}\)) 영역에서 접할, 때, 항등식 및 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2{\kern0pt}{}{}\)의 계수를 비교하여, \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\)와 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)의 등식관계을 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓점을 구하고,, 극댓점 영역에서의 및 접선이 직선, \(l{\kern0pt}{}{}\)과 평행함을 보이시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] 및 \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; l : y = 2x + 1{\kern0pt}{}{}\) | [3-2], 극댓점 \((1, 4){\kern0pt}{}{}\), 기울기 \(2{\kern0pt}{}{}\) | [3-3], \(\dfrac{16}{15}{\kern0pt}{}{}\)

[중앙대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제7회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 쌍곡선의 정의와, 점근선에 평행한 및 직선의 기하적, 성질

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 15074 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1{\kern0pt}{}{}\) (\(a \gt 0, b \gt 0{\kern0pt}{}{}\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\kern0pt}{}{}\) (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}{\kern0pt}{}{}\))에 관하여, 쌍곡선 위의 및 점 \(P{\kern0pt}{}{}\)는 \(|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2a{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키며,, 점근선의 등식관계은 및 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x{\kern0pt}{}{}\)이다.

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1{\kern0pt}{}{}\)의 두 초점을 \(F(c, 0), F'(-c, 0){\kern0pt}{}{}\) (\(c \gt 0{\kern0pt}{}{}\))이라 하고,, 제1사분면에 있는 및 쌍곡선 위의, 점 \(P{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, \(\triangle PF'F{\kern0pt}{}{}\)가 \(\overline{PF'} = \overline{F'F}{\kern0pt}{}{}\)인 이등변삼각형인, 조건에서, 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 쌍곡선의 주축의, 길이 \(2a{\kern0pt}{}{}\), 두 초점의 좌표 및 및 두 점근선의 등식관계을 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 주어진 조건을, 적용해 선분 및 \(PF'{\kern0pt}{}{}\)과 선분, \(PF{\kern0pt}{}{}\)의 길이를, 각각 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 삼각형 \(PF'F{\kern0pt}{}{}\)의 넓이, \(S{\kern0pt}{}{}\)와 초점, \(F{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 두 점근선에 및 내린 수선의, 발을 \(H_1, H_2{\kern0pt}{}{}\)라고 둘 때 사각형 및 \(OH_1 F H_2{\kern0pt}{}{}\)의 넓이를, 각각 산출하시오.

[중앙대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제7회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 중복조합을, 이용한 부정등식관계의 및 정수해 개수와, 확률

확률과 통계 Ⅰ-1. 경우의 수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.4 탐구 15075 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

<제시문 (가)> 각각, 상이한 \(n{\kern0pt}{}{}\)개 영역에서 중복을 및 허락하여 \(r{\kern0pt}{}{}\)개를, 택하는 중복조합의 및 수는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}{\kern0pt}{}{}\)이며,, 등식관계 \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = r{\kern0pt}{}{}\)의 음이 아닌 및 정수해의 개수와, 같다.

네 개의 음이 및 아닌 정수, \(x, y, z, w{\kern0pt}{}{}\)가 등식관계 \(x + y + z + w = 10{\kern0pt}{}{}\)을 성립할 때, 및 순서쌍 \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)의 개수와 확률을 및 분석하려 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 등식관계, \(x + y + z + w = 10{\kern0pt}{}{}\)을 만족시키는 음이 및 아닌 정수해, \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)의 전체 개수 및 \(N{\kern0pt}{}{}\)을 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 위 해 중 영역에서 \(x, y, z, w{\kern0pt}{}{}\)가 모두 양의 및 홀수인 순서쌍, \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)의 개수 \(A{\kern0pt}{}{}\)와 모두 양의 및 짝수인 순서쌍의, 개수 \(B{\kern0pt}{}{}\)를 각각 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 전체, 음이 아닌 및 정수해 \(N{\kern0pt}{}{}\)개 중 영역에서 및 임의로 택한, 하나의 순서쌍 및 \((x, y, z, w){\kern0pt}{}{}\)가 \(x \ge 2,\; y \ge 1{\kern0pt}{}{}\)을 만족시킬 확률을 및 기약분수로 산출하시오.

[중앙대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제7회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.